БЭС:
Большой
Советский
Энциклопедический
Словарь

Термины:

БЕРНШТЕЙНИАНСТВО, одна из первых разновидностей ревизионизма.
БИОЛОГИЧЕСКИЕ СТАНЦИИ, научно-исследовательские учреждения.
БОРТОВАЯ РАДИОСИСТЕМА КОСМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ, комплекс радиотехнич. аппаратуры.
БУШПРИТ, бугшприт (англ, bowsprit.
ВОСТОЧНО-КАРПАТСКАЯ ОПЕРАЦИЯ 1944.
ВЫСШАЯ АТТЕСТАЦИОННАЯ КОМИССИЯ (ВАК), государственный орган.
ГАРАНТИИ ПРАВ ГРАЖДАН, условия и средства.
ГИПЕРБОЛОИДНАЯ ПЕРЕДАЧА, зубчатая передача для осуществления вращения.
ГОАЦИН (Opisthocomus hoatzin), птица, единственный вид.
ГИБРИДНАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА, аналого-цифровая вычислительная машина.


Фирмы: адреса, телефоны и уставные фонды - справочник предприятий оао в экономике.

Большая Советская Энциклопедия - энциклопедический словарь:А-Б В-Г Д-Ж З-К К-Л М-Н О-П Р-С Т-Х Ц-Я

ки, подготовив, в частности, появление анализа математического. Запись простейших основных понятий анализа, таких, как переменная величина, функция, невозможна без буквенной символики, а в анализе, в частности в дифференциальном и интегральном исчислениях, полностью пользуются аппаратом классич. А. Применение аппарата классич. А. возможно всюду, где приходится иметь дело с операциями, аналогичными сложению и умножению чисел. Эти операции могут производиться при этом и не над числами, а над объектами самой различной природы. Наиболее известным примером такого расширенного применения алгебр, методов является векторная А. (см. Векторное исчисление). Векторы можно складывать, умножать на числа и множить друг на друга двумя различными способами. Свойства этих операций над векторами во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел, но в нек-рых отношениях отличны. Напр., векторное произведение двух векторов А и В не коммутативно, т. е. вектор может не равняться вектору наоборот, в векторном исчислении действует правило:

Следом за векторной А. возникла А. тензоров (см. Тензорное исчисление), ставших одним из осн. вспомогат. средств совр. физики. В пределах самой классич. А. возникла А. матриц, а также многие другие алгебр, системы.

Таким образом, А. в более широком, совр. понимании может быть определена как наука о системах объектов той или иной природы, в к-рых установлены операции, по своим свойствам более или менее сходные со сложением и умножением чисел. Такие операции наз. алгебраическими. А. классифицирует системы с заданными на них алгебр, операциями по их свойствам и изучает различные задачи, естественно возникающие в этих системах, включая и задачу решения и исследования уравнений, к-рая в новых системах объектов получает новый смысл (решением уравнения может быть вектор, матрица, оператор и т. д.). Этот новый взгляд на А., вполне оформившийся лишь в 20 в., способствовал дальнейшему расширению

области применения алгебр, методов, в т. ч. и за пределами математики, в частности в физике. Вместе с тем он укрепил связи А. с др. отделами математики и усилил влияние А. на их дальнейшее развитие.

Исторический очерк

Начальное развитие. Алгебре предшествовала арифметика, как собрание постепенно накопленных прак-тич. правил для решения повседневных житейских задач. Эти правила арифметики сводились к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел, вначале только целых, а затем - постепенно и в очень медленном развитии - и дробных. Характерное отличие А. от арифметики заключается в том, что в А. вводится неизвестная величина; действия над ней, диктуемые условиями задачи, приводят к уравнению, из к-рого уже находится сама неизвестная. Намёк на такую трактовку арифметич. задач есть уже в др.-егип. папирусе Ахмеса (1700 - 2000 до н. э.), где искомая величина наз. словом "куча" и обозначается соответствующим знаком - иероглифом (см. Папирусы математические). Древние египтяне решали и гораздо более сложные задачи (напр., на арифметич. и геометрич. прогрессии). Как формулировка задачи, так и решение давались в словесной форме и только в виде конкретных численных примеров. И все же за этими примерами чувствуется наличие накопленных общих методов, если не по форме, то по существу равносильных решению ур-ний 1-й и иногда 2-й степеней. Имеются и первые матем. знаки (напр., особый знак для дробей).

В нач. 20 в. были расшифрованы мно-гочисл. математич. тексты (клинописи) и другой из древнейших культур - вавилонской (см. Клинописные математические тексты). Это открыло миру высоту математич. культуры, существовавшей уже за 4000 лет до наших дней. Вавилоняне с помощью обширных спец. таблиц умели решать разнообразные задачи; нек-рые из них равносильны решению квадратных уравнений и даже одного вида уравнения 3-й степени. Среди учёных, разрабатывающих историю математики, возник спор о том, в какой мере математику вавилонян можно считать А. Нельзя, однако, забывать, что древняя математика едина. Разделение произошло гораздо позднее.

В Др. Греции была отчётливо выделена геометрия. У др.-греч. геометров впервые сознательно поставлено исследование, каждый шаг к-рого оправдан логич. доказательством. Мощь этого метода так велика, что и чисто арифметич. или алгебр, вопросы переводились на язык геометрии: величины трактовались как длины, произведение двух величин - как площадь прямоугольника и т. д. И в совр. матем. языке сохранилось, напр., название "квадрат" для произведения величины на самоё себя. Характерное для более древних культур единство науч. знаний и практич. приложений было в др.-греч. математике разорвано: геометрию считали логич. дисциплиной, необходимой школой для философского ума, а всякого рода исчисления, т. е. вопросы арифметики и А., идеалистич. философия Платона не считала достойным предметом науки. Несомненно, эти отрасли также продолжали развиваться (на основе вавилонских и егип. традиций), но до нашего времени дошёл только трактат Диофанта Александрийского "Арифметика" (вероятно, 3 в.), в к-ром он уже довольно свободно оперирует с уравнениями 1-й и 2-й степеней; в зачаточной форме у него можно найти и употребление отрицат. чисел.

Наследие др.-греч. науки восприняли учёные средневекового Востока - Ср. Азии, Месопотамии, Сев. Африки. Меж-дунар. научным языком служил для них арабский яз. (подобно тому как для учёных средневекового Запада таким языком был латинский), поэтому этот период в истории математики иногда называют "арабским". В действительности же одним из крупнейших науч. центров этого времени (9-15 вв.) была Ср. Азия. Среди многих примеров достаточно назвать деятельность узб. математика и астронома 9 в., уроженца Хорезма Мухаммеда аль-Хорезми и великого учёного-энциклопедиста Бируни; создание в 15 в. обсерватории Улугбека в Самарканде. Учёные ср.-век. Востока передали Европе математику греков и индийцев в оригинальной переработке, причём особенно много они занимались именно А. Само слово "алгебра" - арабское (аль-джебр) и является началом названия одного из сочинений Хорезми (аль-джебр означало один из приёмов преобразования уравнений). Со времени Хорезми А. можно рассматривать как отдельную отрасль математики.

Математики ср.-век. Востока все действия излагали словами. Дальнейший прогресс А. стал возможным только после появления во всеобщем употреблении удобных символов для обозначения действий (см. Знаки математические). Этот процесс шёл медленно и зигзагами. Выше упоминалось о знаке дроби у древних египтян. У Диофанта буква i (начало слова isos, т. е. равный) применялась как знак равенства, были подобные сокращения и у индийцев (5-7 вв.), но затем эта зарождавшаяся символика снова терялась. Дальнейшее развитие А. принадлежит итальянцам, перенявшим в 12 в. математику ср.-век. Востока. Леонардо Пи-занский (13 в.) - наиболее выдающийся математик этой эпохи, занимавшийся алгебр, проблемами. Постепенно алгебр, методы проникают в вычислит, практику, в первое время ожесточённо конкурируя с арифметическими. Приспособляясь к практике, итал. учёные вновь переходят к удобным сокращениям, напр, вместо слов "плюс" и "минус" стали употреблять лат. буквы р и т с особой чёрточкой сверху. В кон. 15 в. в матем. сочинениях появляются принятые теперь знаки + и -, причём есть указания, что эти знаки задолго до этого употреблялись в торговой практике для обозначения избытка и недостатка в весе.

Быстро следует введение и всеобщее признание остальных знаков (степени, корня, скобок и т. д.). К сер. 17 в. полностью сложился аппарат символов совр. А.- употребление букв для обозначения не только искомого неизвестного, но и всех вообще входящих в задачу величин. До этой реформы, окончательно закреплённой Ф. Виетом (кон. 16 в.), в А. и арифметике как бы нет общих правил и доказательств; рассматриваются исключительно численные примеры. Почти невозможно было высказать какие-либо общие суждения. Даже элементарные учебники этого времени очень трудны, т. к. дают десятки частных правил вместо одного общего. Виет первый начал писать свои задачи в общем виде, обозначая неизвестные величины гласными А, Е, I,..., а известные - согласными В, С, D, .... Эти буквы он соединяет введёнными уже в то время знаками математич. операций. Т. о. впервые возникают букв, формулы, столь характерные для совр. А. Начиная с Р. Декарта (17 в.) для неизвестных употребляют преим. последние буквы алфавита (х, у, z).

Введение символич. обозначений и операций над буквами, заменяющими какие угодно конкретные числа, имело исключительно важное значение. Без этого орудия - языка формул - были бы немыслимы блестящее развитие высшей математики начиная с 17 в., создание матем. анализа, матем. выражения законов механики и физики и т. д.

Содержание А. охватывало во время Диофанта уравнения 1-й и 2-й степеней. К уравнениям 2-й степени (т. н. квадратным) др.-греч. математики пришли, по-видимому, геометрич. путём, т. к. задачи, приводящие к этим уравнениям, естественно, возникают при определении площадей и построении окружности по различным данным. Однако в одном, очень существенном отношении решение уравнений у древних математиков отличалось от современного: они не употребляли отрицательных чисел. Поэтому даже уравнение 1-й степени (с точки зрения древних) не всегда имело решение. При рассмотрении уравнений 2-й степени приходилось различать много частных случаев (по знакам коэффициентов). Решающий шаг - применение отрицательных чисел - был сделан инд. математиками (10 в.), но учёные ср.-век. Востока не пошли по этому пути. С отрицат. числами свыклись постепенно; этому особенно способствовали коммерч. вычисления, в к-рых отрицат. числа имеют наглядный смысл убытка, расхода, недостатка и т. д. Окончательно же отрицат. числа были приняты только в 17 в., после того как Декарт воспользовался их наглядным геометрич. представлением для построения аналитич. геометрии.

Возникновение аналитической геометрии было вместе с тем и торжеством А. Если раньше, у древних греков, чисто алгебр, задачи облекались в геометрич. форму, то теперь, наоборот, алгебр, средства выражения оказались уже настолько удобными и наглядными, что геометрич. задачи переводились на язык алгебр, формул. Подробнее о постепенном расширении области чисел, употребляемых в математике, о введении отрицательных, иррациональных, мнимых чисел см. в ст. Число. Здесь же надо отметить, что необходимость введения всех этих чисел особенно настоятельно ощущалась как раз в А.: так, напр., квадратные иррациональности (корни) возникают при решении уравнений 2-й степени. Конечно, уже древнегреческие и среднеазиатские математики не могли пройти мимо извлечения корней и придумали остроумные способы приближённого вычисления их; но взгляд на иррациональность как на число установился значительно позже. Введение же комплексных или "мнимых" чисел относится к следующей эпохе (18 в.).

Итак, если оставить в стороне мнимые числа, то к 18 в. А. сложилась приблизительно в том объёме, к-рый до наших дней преподаётся в средней школе. Эта А. охватывает действия сложения и умножения, с обратными им действиями вычитания и деления, а также возведение в степень (частный случай умножения) и обратное ему - извлечение корня. Эти действия производились над числами или буквами, к-рые могли обозначать положительные или отрицательные, рациональные или иррациональные числа. Указанные действия употреблялись в решении задач, по существу сводившихся к уравнениям 1-й и 2-й степеней. Теперь А. в этом объёме владеет каждый образованный человек. Эта "элементарная" А. применяется повседневно в технике, физике и др. областях науки и практики. Но содержание науки А. и её приложений этим далеко не ограничивается. Трудны и медленны были только первые шаги. С 16 в. и особенно с 18 в. начинается быстрое развитие А., а в 20 в. она переживает новый расцвет.

На рус. яз. изложение элементарной А. в том виде, как она сложилась к нач. 18 в., было впервые дано в знаменитой "Арифметике" Л. Ф. Магницкого, вышедшей в 1703.

Алгебра в 18 - 19 вв. В кон. 17 - нач. 18 вв. произошёл величайший перелом в истории математики и естествознания: был создан и быстро распространился анализ бесконечно малых (дифференциальное и интегральное исчисления). Этот перелом был вызван развитием производит, сил, потребностями техники и естествознания того времени и подготовлен он был всем предшествующим развитием А. В частности, буквенные обозначения и действия над ними ещё в 16- 17 вв. способствовали зарождению взгляда на математич. величины как на переменные, что так характерно для анализа бесконечно малых, где непрерывному изменению одной величины обычно соответствует непрерывное изменение другой - её функции.

А. и анализ развивались в 17-18 вв. в тесной связи. В А. проникали функциональные представления, в этом направлении её обогатил И. Ньютон. С другой стороны, А. принесла анализу свой богатый набор формул и преобразований, игравших большую роль в начальный период интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений. Крупным событием в А. этого периода было появление курса алгебры Л. Эйлера, работавшего тогда в Петерб. академии наук. Этот курс вышел сначала на рус. яз. (1768-69), а затем неоднократно издавался на иностр. языках. Отличие А. от анализа в 18-19 вв. характеризуется тем, что А. имеет своим осн. предметом прерывное, конечное. Эту особенность А. подчеркнул в 1-й пол. 19 в. Н. И. Лобачевский, назвавший свою книгу "Алгебра, или Вычисление конечных" (1834). А. занимается осн. операциями (сложение и умножение), производимыми конечное число раз.

Простейшим результатом умножения является одночлен, напр. 5а3bх2у. Сумма конечного числа таких одночленов (с целыми степенями) наз. многочленом. Если обратить внимание на одну из входящих в многочлен букв, напр, x, то можно придать ему вид: а0хn + a1xn-1 + ... + an, где коэфф. a0, a1 ..., an уже не зависят от x. Это - многочлен n-й степени (другое наименование - полином, целая рациональная функция). А. 18-19 вв. и есть прежде всего А. многочленов.

Объём А., т. о., оказывается значительно уже, чем объём анализа, но зато простейшие операции и объекты, составляющие предмет А., изучаются с большей глубиной и подробностью; и именно потому, что они простейшие, их изучение имеет фундаментальное значение для математики в целом. Вместе с тем А. и анализ продолжают иметь много точек соприкосновения, и разграничение между ними не является жёстким. Так, напр., анализ перенял от А. её символику, без к-рой он не мог бы и возникнуть. Во многих случаях изучение многочленов, как более простых функций, пролагало пути для общей теории функций. Наконец, через всю дальнейшую историю математики проходит тенденция сводить изучение более сложных функций к многочленам или рядам многочленов: простейший пример - Тейлора ряд. С др. стороны, А. нередко пользуется идеей непрерывности, а представление о бесконечном числе объектов стало господствующим в А. последнего времени, но уже в новом, спе-цифич. виде (см. ниже - Современное состояние алгебры).

Если приравнять многочлен нулю (или вообще к.-л. определённому числу), мы получим алгебр, уравнение. Исторически первой задачей А. было решение таких уравнений, т. е. нахождение их корней - тех значений неизвестной величины х, при к-рых многочлен равен нулю. С древних времён известно решение квадратного уравнения x2 + рх + q = 0 в виде формулы:

Алгебр, решение уравнения 3-й и 4-й степеней было найдено в 16 в. Для уравнения вида x3 + рх + q = 0 (к к-рому можно привести всякое уравнение 3-й степени) оно даётся формулой:

Эта формула наз. формулой Кардане, хотя вопрос о том, была ли она найдена самим Дж. Кардана или же заимствована им у др. математиков, нельзя считать вполне решённым. Метод решения алгебр, уравнений 4-й степени указал Л. Феррари. После этого начались настойчивые поиски формул, к-рые решали бы уравнения и высших степеней подобным образом, т. е. сводили бы решение к извлечениям корней ("решение в радикалах"). Эти поиски продолжались около трёх столетий, и лишь в нач. 19 в. Н. Абель и Э. Га-луа доказали, что уравнения степеней выше 4-й в общем случае в радикалах не решаются: оказалось, что существуют неразрешимые в радикалах уравнения я-й степени для любого п, большего или равного 5. Таково, напр., уравнение x5 - 4х - 2 =0. Это открытие имело большое значение, т. к. оказалось, что корни алгебр, уравнений - предмет гораздо более сложный, чем радикалы. Галуа не ограничился этим, так сказать, отрицательным результатом, а положил начало более глубокой теории уравнений, связав с каждым уравнением группу подстановок его корней. Решение уравнения в радикалах равносильно сведению первоначального уравнения к цепи уравнений вида: (к-рое и выражает собой, что Сведение к таким уравнениям оказалось в общем случае невозможным, но возник вопрос: к цепи каких более простых уравнений можно свести решение уравнения заданного. Напр., через корни каких уравнений корни заданного уравнения выражаются рационально, т. е. при помощи четырёх действий - сложения, вычитания, умножения и деления. В таком более широком понимании Галуа теория продолжает развиваться вплоть до нашего времени. С чисто практич. стороны для вычисления корней ур-ния по заданным коэфф. не было особой необходимости в общих формулах решения для уравнений высших степеней, т. к. уже для уравнений 3-й и 4-й степеней такие формулы практически мало полезны. Численное решение уравнений пошло иным путём, путём приближённого вычисления, тем более уместным, что на практике (напр., в астрономии и технике) и сами коэфф. обычно являются результатом измерений, т. е. известны лишь приближённо, с той или иной точностью.

Приближённое вычисление корней алгебр, уравнений является важной задачей вычислит, математики, и к наст, времени разработано огромное число приёмов её решения, в частности с использованием совр. вычислит, техники. Но математика состоит не только из описания способов вычисления. Не менее важна - даже для приложений - другая сторона математики: уметь чисто теоретич. путём, без вычислений, дать ответ на поставленные вопросы. В области теории алгебр, уравнений таким является вопрос о числе корней и их характере. Ответ зависит от того, какие числа мы рассматриваем. Если допустить положит, и отри-цат. числа, то уравнение 1-й степени всегда имеет решение и притом только одно. Но уже