| я в приведённых выше примерах пространства цветов и др. Этот геом. подход вовсе не является чистой условностью, а соответствует самой природе явлений. Но часто одни и те же реальные факты можно изображать аналитически или геометрически, как одну и ту же зависимость можно задавать уравнением или линией на графике.
Не следует, однако, представлять развитие Г. так, что она лишь регистрирует и описывает на геом. языке уже встретившиеся на практике формы и отношения, подобные пространственным. В действительности Г. определяет широкие классы новых пространств и фигур в них, исходя из анализа и обобщения данных наглядной Г. и уже сложившихся геом. теорий. При абстрактном определении эти пространства и фигуры выступают как возможные формы действительности. Они, стало быть, не являются чисто умозрительными конструкциями, а должны служить, в конечном счёте, средством исследования и описания реальных фактов. Лобачевский, создавая свою Г., считал её возможной теорией пространств, отношений. И так же как его Г. получила обоснование в смысле её логич. состоятельности и применимости к явлениям природы, так и всякая абстрактная геом. теория проходит такую же двойную проверку. Для проверки логич. состоятельности существенное значение имеет метод построения матем. моделей новых пространств. Однако окончательно укореняются в науке только те абстрактные понятия, к-рьге оправданы и построением искусств, модели, и применениями, если не прямо в естествознании и технике, то хотя бы в др. матем. теориях, через к-рые эти понятия так или иначе связываются с действительностью. Лёгкость, с к-рой математики и физики оперируют теперь разными пространствами, достигнута в результате долгого развития Г. в тесной связи с развитием математики в целом и других точных наук. Именно вследствие этого развития сложилась и приобрела большое значение вторая сторона Г., указанная в общем определении, данном в начале статьи: включение в Г. исследования форм и отношений, сходных с формами и отношениями в обычном пространстве.
В качестве примера абстрактной геом. теории можно рассмотреть Г. к-мерного евклидова пространства. Она строится путём простого обобщения основных положений обычной Г., причём для этого имеется неск. возможностей: можно, напр., обобщать аксиомы обычной Г., но можно исходить и из задания точек координатами. При втором подходе n-мерное пространство определяют как множество к.-л. элементов-точек, задаваемых (каждая) п числами x1, x2,..., хn, расположенными в определённом порядке,- координатами точек. Далее, расстояние между точками X= (х1, х2,..., хn) и Х'= (х'1, х'2,..., х'n) определяется формулой:
что является прямым обобщением известной формулы для расстояния в трёхмерном пространстве. Движение определяют как преобразование фигуры, к-рое не изменяет расстояний между её точками. Тогда предмет и-мерной Г. определяется как исследование тех свойств фигур, к-рые не меняются при движениях. На этой основе легко вводятся понятия о прямой, о плоскостях различного числа измерений от двух до п - 1, о шаре и т. д. Т. о. складывается богатая содержанием теория, во многом аналогичная обычной евклидовой Г., но во многом и отличная от неё. Нередко бывает, что результаты, полученные для трёхмерного пространства, легко переносятся с соответствующими изменениями на пространство любого числа, измерений. Напр., теорема о том, что среди всех тел одинакового объёма наименьшую площадь поверхности имеет шар, читается дословно так же в пространстве любого числа измерений [нужно лишь иметь в виду n-мерный объём, (п-1)-мерную площадь и n-мерный шар, к-рые определяются вполне аналогично соответствующим понятиям обычной Г.]. Далее, в n-мерном пространстве объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а объём пирамиды - такому произведению, делённому на п. Такие примеры можно продолжить. С др. стороны, в многомерных пространствах обнаруживаются также качественно новые факты.
Истолкования геометрии. Одна и та же геом. теория допускает разные приложения, разные истолкования (осуществления, модели, или интерпретации). Всякое приложение теории и есть не что иное, как осуществление нек-рых её выводов в соответствующей области явлений.
Возможность разных осуществлений является общим свойством всякой матем. теории. Так, арифметич. соотношения реализуются на самых различных наборах предметов; одно и то же ур-ние описывает часто совсем разные явления. Математика рассматривает лишь форму явления, отвлекаясь от содержания, а с точки зрения формы многие качественно различные явления оказываются часто сходными. Разнообразие приложений математики и, в частности, Г. обеспечивается именно её абстрактным характером. Считают, что нек-рая система объектов (область явлений) даёт осуществление теории, если отношения в этой области объектов могут быть описаны на языке теории так, что каждое утверждение теории выражает тот или иной факт, имеющий место в рассматриваемой области. В частности, если теория строится на основе нек-рой системы аксиом, то истолкование этой теории состоит в таком сопоставлении её понятий с нек-рыми объектами и их отношениями, при к-ром аксиомы оказываются выполненными для этих объектов.
Евклидова Г. возникла как отражение фактов действительности. Её обычная интерпретация, в к-рой прямыми считаются натянутые нити, движением - механич. перемещение и т. д., предшествует Г. как матем. теории. Вопрос о других интерпретациях не ставился и не мог быть поставлен, пока не выявилось более абстрактное понимание геометрии. Лобачевский создал неевклидову Г. как возможную геометрию, и тогда возник вопрос о её реальном истолковании. Эта задача была решена в 1868 Э. Белътрами, к-рый заметил, что геометрия Лобачевского совпадает с внутр. Г. поверхностей постоянной отрицательной кривизны, т. е. теоремы геометрии Лобачевского описывают геом. факты на таких поверхностях (при этом роль прямых выполняют геодезич. линии, а роль движений - изгибания поверхности на себя). Поскольку вместе с тем такая поверхность есть объект евклидовой Г., оказалось, что геометрия Лобачевского истолковывается в понятиях геометрии Евклида. Тем самым была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского, т. к. противоречие в ней в силу указанного истолкования влекло бы противоречие в геометрии Евклида.
Т. о., выясняется двоякое значение истолкования геом. теории - физическое и математическое. Если речь идёт об истолковании на конкретных объектах, то получается опытное доказательство истинности теории (конечно, с соответствующей точностью); если же сами объекты имеют абстрактный характер (как геом. поверхность в рамках геометрии Евклида), то теория связывается с другой матем. теорией, в данном случае с евклидовой Г., а через неё с суммированными в ней опытными данными. Такое истолкование одной матем. теории посредством другой стало матем. методом обоснования новых теорий, приёмом доказательства их непротиворечивости, поскольку противоречие в новой теории порождало бы противоречие в той теории, в к-рой она интерпретируется. Но теория, посредством к-рой производится истолкование, в свою очередь, нуждается в обосновании. Поэтому указанный матем. метод не снимает того, что окончательным критерием истины для матем. теорий остаётся практика. В наст, время геом. теории чаще всего истолковываю аналитически; напр., точки на плоскости Лобачевского можно связывать с парами чисел х и у, прямые-определять ур-ния-ми и т. п. Этот приём даёт обоснование теории потому, что сам матем. анализ обоснован, в конечном счёте, огромной практикой его применения.
Современная геометрия. Принятое в совр. математике формально-матем. определение понятий пространства и фигуры исходит из понятия множества (см. Множеств теория). Пространство определяется как множество к.-л. элементов (точек) с условием, что в этом множестве установлены нек-рые отношения, сходные с обычными пространств, отношениями. Множество цветов, множество состояний физ. системы, множество непрерывных функций, заданных на отрезке [0,1], и т. п. образуют пространства, где . точками будут цвета, состояния, функции. Точнее, эти множества понимаются как пространства, если в них фиксируются только соответствующие отношения, напр, расстояние между точками, и те свойства и отношения, к-рые через них определяются. Так, расстояние между функциями можно определить как максимум абс. величины их разности: max\f(x)-q(х)\. Фигура определяется как произвольное множество точек в данном пространстве. (Иногда пространство - это система из множеств элементов. Напр., в проективной Г. принято рассматривать точки, прямые и плоскости как равноправные исходные геом. объекты, связанные отношениями соединения.)
Основные типы отношений, к-рые в разных комбинациях приводят ко всему разнообразию пространств совр. Г., следующие:
1) Общими отношениями, имеющимися во всяком множестве, являются отношения принадлежности и включения: точка принадлежит множеству, и одно множество есть часть другого. Если приняты во внимание только эти отношения, то в множестве не определяется ещё никакой геометрии, оно не становится пространством. Однако, если выделены нек-рые спец. фигуры (множества точек), то геометрия пространства может определяться законами связи точек с этими фигурами. Такую роль играют аксиомы сочетания в элементарной, аффинной, проективной Г.; здесь специальными множествами служат прямые и плоскости.
Тот же принцип выделения нек-рых спец. множеств позволяет определить понятие топологич. пространства - пространства, в к-ром в качестве спец. множеств выделены окрестности точек (с условием, что точка принадлежит своей окрестности и каждая точка имеет хотя бы одну окрестность; наложение на окрестности дальнейших требований определяет тот или иной тип топологич. пространств). Если всякая окрестность заданной точки имеет общие точки с нек-рым множеством, то такая точка наз. точкой прикосновения этого множества. Два множества можно назвать соприкасающимися, если хотя бы одно из них содержит точки прикосновения другого; пространство или фигура будет непрерывной, или, как говорят, связной, если её нельзя разбить на две несоприкасающиеся части; преобразование непрерывно, если оно не нарушает соприкосновений. Т. о., понятие топологич. пространства служит для матем. выражения понятия непрерывности. [Топологич. пространство можно определить также другими спец. множествами (замкнутыми, открытыми) или непосредственно отношением прикосновения, при к-ром любому множеству точек ставятся в соответствие его точки прикосновения.] Топология, пространства как таковые, множества в них и их преобразования служат предметом топологии. Предмет собственно Г. (в значительной её части) составляет исследование топологич. пространств и фигур в них, наделённых ещё дополнит, свойствами.
2) Второй важнейший принцип определения тех или иных пространств и их исследования представляет введение координат. Многообразием называется такое (связное) топологич. пространство, в окрестности каждой точки к-рого можно ввести координаты, поставив точки окрестности во взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие с системами из п действительных чисел x1, x2, ..., xn. Число п есть число измерений многообразия. Пространства, изучаемые в большинстве геом. теорий, являются многообразиями; простейшие геом. фигуры (отрезки, части поверхностей, ограниченные кривыми, и т.п.) обычно - куски многообразий. Если среди всех систем координат, к-рые можно ввести в кусках многообразия, выделяются системы координат такого рода, что одни координаты выражаются через другие дифференцируемыми (то или иное число раз) или аналитич. функциями, то получают т. н. гладкое (аналитическое) многообразие. Это понятие обобщает наглядное представление о гладкой поверхности. Гладкие многообразия как таковые составляют предмет т. н. дифференциальной топологии. В собственно Г. они наделяются дополнит, свойствами. Координаты с принятым условием дифференцируемоcти их преобразований дают почву для широкого применения аналитич. методов - дифференциального и интегрального исчисления, а также векторного и тензорного анализа (см. Векторное исчисление, Тензорное исчисление). Совокупность теорий Г., развиваемых этими методами, образует общую дифференциальную Г.; простейшим случаем её служит классич. теория гладких кривых и поверхностей, к-рые представляют собою не что иное, как одно- и двумерные дифференцируемые многообразия.
3) Обобщение понятия движения как преобразования одной фигуры в другую приводит к общему принципу определения разных пространств, когда пространством считается множество элементов (точек), в котором задана группа взаимно однозначных преобразований этого множества на себя. Геометрия такого пространства состоит в изучении тех свойств фигур, которые сохраняются при преобразованиях из этой группы. Поэтому с точки зрения такой Г. фигуры можно считать равными, если одна переходит в другую посредством преобразования из данной группы. Напр., евклидова Г. изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движениях, аффинная Г. - свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, топология - свойства фигур, сохраняющиеся при любых взаимно однозначных и непрерывных преобразованиях. В эту же схему включаются геометрия Лобачевского, проективная Г. и др. Фактически этот принцип соединяется с введением координат. Пространство определяется как гладкое многообразие, в к-ром преобразования задаются функциями, связывающими координаты каждой данной точки и той, в к-рую она переходит (координаты образа точки задаются как функции координат самой точки и параметров, от к-рых зависит преобразование; напр., аффинные преобразования определяются как линейные: х'i = ai1x1 + аi2 х2 + ...+ + ainxn, i =1, ...,п). Поэтому общим аппаратом разработки таких геометрий служит теория непрерывных групп преобразований. Возможна другая, по существу эквивалентная, точка зрения, согласно к-рой задаются не преобразования пространства, а преобразования координат в нём, причём изучаются те свойства фигур, к-рые одинаково выражаются в разных системах координат. Эта точка зрения нашла применение в теории относительности, к-рая требует одинакового выражения физ. законов в разных системах координат, наз. в физике системами отсчёта.
4) Другой общий принцип определения пространств, указанный в 1854 Риманом, исходит из обобщения понятия о расстоянии. По Риману, пространство - это гладкое многообразие, в к-ром задан закон измерения расстояний, точнее длин, бесконечно малыми шагами, т. е. задаётся дифференциал длины дуги кривой как функция координат точки кривой и их дифференциалов. Это есть обобщение внутр. Г. поверхностей, определённой Гауссом как учение о свойствах поверхностей, к-рые могут быть установлены измерением длин кривых на ней. Простейший случай представляют т. н. римановы пространства, в к-рых в бесконечно малом имеет место теорема Пифагора (т. е. в окрестности каждой точки можно ввести координаты так, что в этой точке квадрат дифференциала длины дуги будет равен сумме квадратов дифференциалов координат; в произвольных же координатах он выражается общей положительной квадратичной формой; см. Римановы геометрии). Такое пространство, следовательно, евклидово в бесконечно малом, но в целом оно может не быть евклидовым, подобно тому как кривая поверхность лишь в бесконечно малом может быть сведена к плоскости с соответствующей точностью. Геометрии Евклида и Лобачевского оказываются частным случаем этой римановой Г. Наиболее широкое обобщение понятия расстояния привело к понятию общего метрич. пространства как такого множества элементов, в к-ром задана метрика, т. е. каждой паре элементов отнесено число - расстояние между ними, подчинённое только очень общим условиям. Эта идея играет важную роль в функциональном анализе и лежит в основе нек-рых новейших геом. теорий, таких, как внутр. Г. негладких поверхностей и соответствующие обобщения римановой Г.
5) Соединение идеи Римана об определении геометрии в бесконечно малых областях многообразия с определением геометрии посредством группы преобразований привело (Э. Картан, 1922-25) к понятию о таком пространстве, в котором преобразования задаются лишь в бесконечно малых областях; иными словами, здесь преобразования устанавливают связь только бесконечно близких кусков многообразия: один кусок преобразуется в другой, бесконечно близкий. Поэтому говорят о пространствах со связностью того или иного типа. В частности, пространства с евклидовой связностью суть римановы. Дальнейшие обобщения восходят к понятию о пространстве как о гладком многообразии, на к-ром задано вообще поле к.-л. объекта, к-рым может служить квадратичная форма, как в римановой Г., совокупность величин, определяющих связность, тот или иной тензор и др. Сюда же можно отнести введённые в недавнее время т. н. расслоенные пространства. Эти концепции включают, в частности, связанное с теорией относительности обобщение римановой Г., когда рассматриваются пространства, где метрика задаётся уже не положительной, а знакопеременной квадратичной формой (такие пространства также наз. римановыми, или псевдоримановыми, если хотят отличить их от римановых в первоначальном смысле). Эти пространства являются пространствами со связностью, определённой соответствующей группой, отличной от группы евклидовых движений.
На почве теории относительности возникла теория пространств, в к-рых определено понятие следования точек, так что каждой точке X отвечает множество V(X) следующих за нею точек. (Это является естественным матем. обобщением следования событий, определённого тем, что событие У следует за событием X, если X воздействует на У, и тогда У следует за X во времени в любой системе отсчёта.) Т. к. само задание множеств V определяет точки, следующие за X, как принадлежащие множеству V(X), то определение этого типа пространств оказывается применением первого из перечисленных выше принципов, когда геометрия пространства определяется выделением спец. множеств. Конечно, при этом множества V должны быть подчинены соответствующим условиям; в простейшем случае - это выпуклые конусы. Эта теория включает теорию соответствующих псевдоримановых пространств.
6) Аксиоматич. метод в его чистом виде служит теперь либо для оформления уже готовых теорий, либо для определения общих типов пространств с выделенными специальными множествами. Если же тот или иной тип более конкретных прос |
