| В. т. за рубежом (во Франции - Э. Борель, П. Леви, М. Фреше, в Германии - Р. Мизес, в США - Н. Винер, В. Фел-лер, Дж. Дуб, в Швеции - Г. Крамер) советская наука продолжает занимать значительное, а в ряде направлений и ведущее положение. В нашей стране новый период развития В. т. открывается деятельностью С. Н. Бернштейна; значительно обобщившего классич. предельные теоремы Чебышева, Ляпунова и Маркова и впервые в России широко поставившего работу по применениям В. т. к естествознанию. В Москве А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров начали с применения к вопросам В. т. методов теории функций действительного переменного. Позднее (в 30-х гг.) они (и Е. Е. Слуцкий) заложили основы теории случайных процессов. В. И. Романовский (Ташкент) и Н. В. Смирнов (Москва) поставили на большую высоту работу по применениям В. т. к математич. статистике. Кроме обширной моек, группы специалистов по В. т., в наст, время в СССР разработкой проблем В. т. занимаются в Ленинграде (во главе с Ю. В. Линником) и в Киеве.
Лит.: Основоположники и классики теории вероятностей. Bernoulli J., Ars conjectandi, opus posthumum, Basueae, 1713 (рус. пер., СПБ, 1913); Laplace |;P. S.], Theorie analytique des probabilites, 3 ed., P., 1886 (CEuvres completes de Laplase, t. 7, livre 1 - 2); Чебышев П. Л., Поли, собр. соч., т. 2-3, М.- Л., 1947-48; ,Liаpounoff A., Nouvelle forme du theoreme sur la limite de probabilite, СПБ, 1901 ("Зап. АН по физико-математическому отделению, 8 серия", т. 12, № 5); Марков А. А., Исследование замечательного случая зависимых испытаний, "Изв. АН, 6 серия", 1907, т. 1, № 3.
Популярная и учебная литература. Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., Элементарное введение в теорию вероятностей, 3 изд., М.- Л., 1952; Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965; Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; Берн-штейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.- Л., 1946; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложение (Дискретные распределения), пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967.
Обзоры и монографии. ГнеденкоБ. В. и Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет. 1917 - 1947. Сб. ст., М.- Л., 1948; Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917 - 57. Сб. ст., т. 1,М., 1959; Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, пер. с нем., М.- Л., 1936; его же, Об аналитических методах в теории вероятностей, "Успехи математических наук", 1938, в. 5, с. 5 - 41; Хинчин А. Я., Асимптотические законы теории вероятностей, пер. с нем., М.- Л., 1936; Гнеденко Б. В. и Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 194Э; Дуб Дж. Л., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; Чандрасе-кар С., Стохастические проблемы в физике и астрономии, пер. с англ., М., 1947; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, М., 1967.
Ю. В, Прохоров, Б. Л. Севастьянов.
ВЕРОЯТНОСТНАЯ БУМАГА нормальная, специальным образом разграфлённая бумага, построенная так, что график функции нормального распределения изображается на ней прямой линией. Это достигается изменением шкалы на вертикальной оси (см. рис.). На свойстве "выпрямления" основан простой способ проверки гипотезы о принадлежности данной выборки к нормальной совокупности: если построенная на В. б. эм-пирич. функция распределения хорошо приближается прямой линией, то можно с основанием полагать, что совокупность, из к-рой взята выборка, является приближённо нормальной. Достоинство этого метода состоит в том, что вывод о принадлежности к нормальной совокупности можно сделать без знания численных значений параметров гипотетич. распределения.
Лит.: Арлей Н., Бух К. Р., Введение в теорию вероятностей и математическую статистику, пер. с англ., М., 1951; Diхоn W. J., Мassеу F. J., Introduction to statistical analysis, N. Y.-Toronto - L., 1957. А. В. Прохоров.
ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЛОГИКА, логическая система, в которой высказываниям (суждениям, утверждениям, предложениям), помимо истины и лжи, приписываются "промежуточные" истинностныезначения, наз. вероятностями истинности высказываний, степенями их правдоподобия, степенями подтверждения и т. п. Поскольку понятие вероятности естественно соотносить нек-рым событиям, а наступление или ненаступление события есть факт, допускающий (хотя бы в принципе) эмпирич. проверку (в широком смысле - включая т. н. мысленный эксперимент, а также вывод из знания о наступлении или ненаступлении др. событий), то В. л. представляет собой уточнение индуктивной логики. Взаимные переходы от языка высказываний к языку событий и обратно совершаются настолько естественно, что выглядят почти тривиальными: каждому событию сопоставляется высказывание о его наступлении, а высказыванию сопоставляется событие, состоящее в том, что оно оказалось истинным. Специфика В. л. (даже полностью формализованной в логико-матем. терминах) состоит в принципиальной неустранимости неполной достоверности ("относительной истинности") посылок и выводов, присущей всякому индуктивному познанию.
Проблематика В. л. развивалась уже по существу в древности (напр., Аристотелем), а в новое время - Г. В. Лейбницем, Дж. Булем, У. С. Джевонсом, Дж. Венном.
Как логич. система, В. л.- разновидность многозначной логики: истинным высказываниям (достоверным событиям) приписывается истинностное значение (вероятность) 1, ложным высказываниям (невозможным событиям) - значение 0; гипотетич. же высказываниям может приписываться в качестве значения любое действит. число из интервала (О, 1). Вероятность гипотезы, зависящая как от её содержания (формулировки), так и от информации об уже имеющемся знании ("опыта"), есть их функция. Над истинностными значениями (вероятностями) гипотез определяются логические операции: конъюнкция (соответствующая умножению событий в теории вероятностей) и дизъюнкция (соответствующая сложению событий); мерой (значением) отрицания гипотезы является вероятность события, состоящего в её неподтверждении. Значения гипотез образуют при этом т. н. нормированную булеву алгебру, сравнительно простой и хорошо разработанный аппарат к-рой позволяет легко аксиоматизировать теорию вероятностей и является простейшим вариантом В. л.
[423e3c_48-61.jpg""283""283""283""283""283""400]
В соответствии с др. трактовкой понятия вероятности, связанной с т. н. частотной концепцией (определением) вероятности (А. Пуанкаре, М. Смолухов-ский, Р. Мизес), в В. л. получили развитие идеи, согласно к-рым основным объектом её рассмотрения являются не вероятности отдельных событий, а случайные процессы, реализуемые в простейшем случае в виде случайных двоичных последовательностей, т. е. последовательностей нулей и единиц (соответствующих единичным актам ненаступления и наступления нек-рого события при повторных испытаниях).
Интенсивно развивается и проблематика В. л., возникающая при сопоставлении обоих упомянутых подходов (Р. Карнап, Б. Рассел и др.), а также базирующаяся на связи теоретико-вероятностных понятий с идеями теории информации и логической семантики. Все эти направления находятся в процессе разработки как по линии усовершенствования собственно матем. аппарата В. л., так и в отношении теоретико-познават. интерпретации возникающих систем (причём именно в последней области и сосредоточены главные трудности В. л.).
Лит. см. при статьях Вероятностей теория, Индуктивная логика. Многозначная логика. Ю. А. Гастев.
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АВТОМАТ, система, в к-рой переход из одного состояния в другое происходит случайным образом. Вероятность этого перехода определяется последовательностью его предыдущих состояний[423e3c_48-62.jpg""126""126""126""126""126""12] и входными сигналами[423e3c_48-63.jpg""106""106""106""106""106""15] и записывается в виде функции Р [423e3c_48-64.jpg""161""161""161""161""161""15] означает переход из состояния [423e3c_48-65.jpg""22""22""22""22""22""11] в состояние[423e3c_48-66.jpg""22""22""22""22""22""12]
В. а. используются в формальных моделях процессов обучения, в моделях сложного поведения, когда реакция автомата неоднозначна.
Примером В. а. может служить система автоматич. управления движением транспорта на перекрёстке двух улиц с разной интенсивностью движения. Для простоты рассмотрим В. а. с двумя состояниями: "откр" - проезд по магистрали (улица с интенсивным движением) открыт и "закр" - магистраль перекрыта, разрешено поперечное движение.
[423e3c_48-67.jpg""282""282""282""282""282""126]
Такой автомат по мере надобности пропускает поперечный транспорт, но не перекрывает магистраль при появлении на поперечном направлении каждой отдельной машины. Численные значения вероятностей переходов и время осн. такта работы автомата необходимо выбирать исходя из конкретного транспортного режима.
В. а. можно представить в виде системы, состоящей из детерминированного автомата и случайных чисел датчика, подающего на один из входов автомата независимые сигналы с заданным распределением вероятностей. Ю. А. Шрейдер.
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПРОЦЕСС, то же, что случайный процесс.
ВЕРОЯТНОСТЬ математическая, числовая характеристика степени возможности появления к.-л. определённого события в тех или иных определённых, могущих повторяться неограниченное число раз условиях. Как категория науч. познания понятие "В." отражает особый тип связей между явлениями, характерных для массовых процессов. Категория В. лежит в основе особого класса закономерностей - вероятностных или статистич. закономерностей. Численное значение В. в нек-рых случаях получается из "классического" определения В.: В. равна отношению числа случаев, "благоприятствующих" данному событию, к общему числу "равно-возможных" случаев. Напр., если из 10 млн. облигаций гос. выигрышного займа, на к-рые в одном тираже должен выпасть один выигрыш макс, размера, в данном городе размещено 500 тыс. облигаций, то В. того, что макс, выигрыш достанется жителю данного города, равна 500 000/10 000 000 = 1/20.
В других, более сложных случаях определение численного значения В. требует статистического подхода. Напр., если при 100 попытках стрелок попал в цель 39 раз, то можно думать, что для него В. попадания в цель при данных условиях приблизительно равна 4/10. По В., определённой классич. или статистич. способом, могут быть вычислены в соответствии с правилами теории вероятностей новые В. Напр., если для нашего стрелка В. попадания при отдельном выстреле равна 4/10, то В. того, что он будет иметь хотя бы одно попадание при четырёх выстрелах, равна [423e3c_48-68.jpg""134""134""134""134""134""13] Этот вывод может быть проверен статистически: если попытки поразить цель хотя бы одним выстрелом из четырёх будут повторяться много раз, то они будут иметь успех приблизительно в 87% случаев (в предположении, что за это время искусство стрелка не изменится заметным образом). Математич. В. является выражением качественно своеобразной связи между случайным и необходимым. При изложении теории вероятностей формулируются в виде аксиом те свойства В., к-рые на данном этапе развития науки необходимы для её развития. Однако ни эти аксиомы, ни классич. подход к В., ни статистич. подход не дают исчерпывающего определения реального содержания понятия "В."; они являются лишь известными приближениями ко всё более полному его раскрытию. Далеко не всякое событие, наступление к-рого при заданных условиях не является однозначно определённым, имеет при этом комплексе условий определённую В. Предположение, что при данных условиях для данного события В., т. е. вполне определённая нормальная доля числа появлений данного события при большом числе повторений данных условий, существует, является гипотезой, к-рая в каждом отдельном вопросе требует спец. проверки или обоснования. Напр., имеет смысл говорить о В. попадания в цель заданных размеров, с заданного расстояния из винтовки известного образца стрелком, вызванным наудачу из определённого воинского подразделения. Однако было бы бессмысленно говорить о В. попадания в цель, если об условиях стрельбы ничего не известно.
По поводу связи В. с частотой надо иметь в виду следующее: при конечном числе п повторений заданных условий доля числа случаев т, в к-рых данное событие появится, т. е. так называемая частота т/п, как правило, мало отличается от вероятности р. Чем больше число повторений п, тем реже встречаются сколько-либо значит, отклонения частоты т/п от вероятности р. Для пояснения этого обстоятельства рассмотрим пример бросания монеты, в к-ром В. появления "герба" и "надписи" одинаковы и равны 1/2. При десяти бросаниях (т = 10) появление десяти "гербов" или десяти "надписей" очень мало вероятно. Но и утверждать, что "герб" выпадает ровно пять раз, нет достаточных оснований; более того, утверждая, что "герб" выпадает 4 или 5, или 6 раз, мы ещё довольно сильно рисковали бы ошибиться. Но при ста бросаниях монеты можно уже без практически ощутимого риска заранее утверждать, что число выпавших "гербов" будет лежать между 40 и 60 (см. подробнее Больших чисел закон).
Математич. В. может служить для оценки В. события в обычном, житейском смысле, т. е. для уточнения т. н. "проблематических" суждений, выражающихся обычно словами "возможно", "вероятно", "очень вероятно" и т. п. По поводу этих оценок следует иметь в виду, что в применении к любому определённому суждению, к-рое на самом деле может быть только истинным или ложным, оценка его В. имеет лишь временный или же субъективный смысл, т. е. выражает лишь наше отношение к делу. Напр., если кто-либо, не имея по этому поводу спец. сведений, захочет представить себе вид окрестностей Москвы 23 марта 1930, то он скажет: "вероятно, в этот день на полях лежал снег". Однако на самом деле в 1930 снег под Москвой к 22 марта уже сошёл с полей. Выяснив это обстоятельство, мы должны будем отменить первоначальную оценку, выраженную заключённым в кавычки пробле-матич. суждением. Тем не менее эта оценка, оказавшаяся в применении к данному индивидуальному случаю ошибочной, основана на верном общем правиле: "в начале двадцатых чисел марта на полях под Москвой по большей части лежит снег". Это правило отражает объективные свойства климата Подмосковья. Такого рода правила можно выражать, указывая уровень В. интересующего нас события, при тех или иных общих, осуществимых неограниченное число раз условиях. Эти оценки уже имеют объективный смысл. Поэтому употребление расчёта В. для подтверждения наших оценок степени надёжности тех или иных утверждений, относящихся к отд. индивидуальным событиям, не должно давать повода к мнению, что математич. В. является только числовым выражением нашей субъективной уверенности в наступлении некоторого события. Такое идеалистич., субъективное понимание смысла математич. В. является ошибочным. При последовательном развитии оно приводит к абсурдному утверждению, что из чистого незнания, анализируя одни лишь субъективные состояния нашей большей или меньшей уверенности, мы можем сделать какие-либо определённые заключения относительно внешнего мира.
Описанное выше употребление расчёта В. для оценки положения в отд. индивидуальных случаях неизбежно приводит к вопросу о том, какими В. можно пренебрегать на практике. Этот вопрос решается по-разному, в зависимости от того, насколько велика необходимость быстрого перехода от накопления надёжных данных к их действенному употреблению. Напр., если при данных условиях стрельбы теоретич. расчёт приводит к тому, что поставленная боевая задача будет решена данным числом выстрелов с В. 0,95 (т. е. В. того, что назначенного числа снарядов не хватит, равна 0,05), то обычно считают возможным исходить при руководстве боевыми операциями из предположения, что назначенное число снарядов окажется достаточным. В более спокойной обстановке науч. исследований принято пренебрегать лишь В. в 0,003 (эта норма связана с т. н. правилом трёх сигма), а иногда требовать и ещё большего приближения В. отсутствия ошибки к единице. В математич. статистике В., к-рой решено пренебрегать в данном исследовании, наз. значимости уровнем. Хотя в статистике обычно рекомендуют пользоваться уровнями значимости от 0,05 при предварит, ориентировочных исследованиях до 0,001 при окончательных серьёзных выводах, часто достижима значительно большая достоверность вероятностных выводов. Напр., основные выводы статистич. физики основаны на пренебрежении лишь В. порядка меньшего 0,000 000 000 1.
Подробнее об употреблении вероятностных методов в науке см. в статьях Вероятностей теория и Математическая статистика.
Лит.: Математика, её содержание, методы и значение, т. 2, М., 1956, гл. 11; Колмогоров А. Н., К логическим основам теории информации и теории вероятностей, в сб.: Проблемы передачи информации, т. 5, в. 3, М., 1969. А. Н. Колмогоров.
ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ, показатель надёжности устройства, схемы или отд. элемента, к-рый оценивает возможность сохранения изделием работоспособности в определённом интервале времени или при выполнении заданного объёма работы.
ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА в квантовой механике, см. Квантовые переходы.
ВЕРОЯТНОСТЬ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ, число способов, к-рыми может быть реализовано состояние физ. системы. В термодинамике состояние физ. системы характеризуется определёнными значениями плотности, давления, темп-ры и др. измеримых величин. Перечисленные величины определяют состояние системы в целом (её макросостояние). Однако при одной и той же плотности, темп-ре и т. д. частицы системы могут различными способами распределиться в пространстве и иметь различные импульсы. Каждое данное распределение частиц наз. микро-состоянием системы. В. т. (обозначается W) равна числу микросостояний реализующих данное макросостояние, из чего следует, что[423e3c_48-69.jpg""46""46""46""46""46""13] В. т. связана с одной из основных макроскопич. характеристик системы энтропией S соотношением Больцмана: [423e3c_48-70.jpg""79""79""79""79""79""14] где k - Болъцмана постоянная.
В. т. не является вероятностью в ма-тем. смысле. Она применяется в статистической физике для определения свойств систем, находящихся в термоди-намич. равновесии (для них В. т. имеет макс, значение). Для расчёта В. т. существенно, считаются ли частицы системы различимыми или неразличимыми. Поэтому классич. и квантовая меха |
