| тность события A2, взятую при условии, что A1 наступило, ..., умноженной на вероятность события Ar при условии, что A1, А2, ..., Аr-1 наступили. Для независимых событий теорема умножения приводит [423e3c_48-19.jpg""284""284""284""284""284""34] к формуле:
т. е. вероятность совмещения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Формула (3) остаётся справедливой, если в обеих её частях нек-рые из событий заменить на противоположные им.
Пример. Производится 4 выстрела по цели с вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле. Попадания в цель при различных выстрелах предполагаются независимыми событиями. Какова вероятность попадания в цель ровно три раза?
Каждый Исход испытания может быть обозначен последовательностью из четырёх букв [напр., (у, н, н, у) означает, что при первом и четвёртом выстрелах были попадания (успех), а при втором и третьем попаданий не было (неудача)]. Всего будет 2*2*2*2 = 16 исходов. В соответствии с предположением о независимости результатов отдельных выстрелов следует для определения вероятностей этих исходов использовать формулу (3) и примечание к ней. Так, вероятность исхода (у, н, н, н) следует положить равной 0,2-0,8-0,8-0,8 = 0,1024; здесь 0,8 = = 1-0,2 - вероятность промаха при отдельном выстреле. Событию "в цель попадают три раза" благоприятствуют исходы (У, У У, н), (у, у, н, у), (у, н, у, у), (н, у, у, у), вероятность каждого одна и та же:
[423e3c_48-20.jpg""221""221""221""221""221""31]
следовательно, искомая вероятность равна
4*0,0064 = 0,0256.
Обобщая рассуждения разобранного примера, можно вывести одну из осн. формул В. т.: если события A1, А2, ..., Аn независимы и имеют каждое вероятность р, то вероятность наступления ровно т из них равна
[423e3c_48-21.jpg""234""234""234""234""234""23]
здесь[423e3c_48-22.jpg""26""26""26""26""26""18] обозначает число сочетаний из
п элементов по т (см. Биномиальное распределение). При больших п вычисления по формуле (4) становятся затруднительными. Пусть в предыдущем примере число выстрелов равно 100, и ставится вопрос об отыскании вероятности х того, что число попаданий лежит в пределах от 8 до 32. Применение формулы (4) и теоремы сложения даёт точное, но практически мало пригодное выражение искомой вероятности
[423e3c_48-23.jpg""206""206""206""206""206""31]
Приближённое значение вероятности х можно найти по теореме Лапласа (см. Лапласа теорема)
[423e3c_48-24.jpg""230""230""230""230""230""44]
причём ошибка не превосходит 0,0009. Найденный результат показывает, что событие [423e3c_48-25.jpg""69""69""69""69""69""13] практически достоверно. Это самый простой, но типичный пример использования предельных теорем В. т.
К числу основных формул элементарной В. т. относится также т. н. формула полной вероятности: если события A1, А2, ..., Аr попарно несовместны и их объединение есть достоверное событие, то для любого события В его вероятность равна сумме
[423e3c_48-26.jpg""212""212""212""212""212""28]
Теорема умножения вероятностей оказывается особенно полезной при рассмотрении составных испытаний. Говорят, что испытание Т составлено из испытаний Т1, Т2, ..., Tn-1, Тn если каждый исход испытания Т есть совмещение нек-рых исходов[423e3c_48-27.jpg""111""111""111""111""111""14] Yi соответствующих испытаний T1, T2, [423e3c_48-28.jpg""91""91""91""91""91""15] Из тех или иных соображений часто бывают известны вероятности
[423e3c_48-29.jpg""273""273""273""273""273""28]
По вероятностям (5) с помощью теоремы умножения могут быть определены вероятности Р(Е) для всех исходов E составного испытания, а вместе с тем и вероятности всех событий, связанных с этим испытанием (подобно тому, как это было сделано в разобранном выше примере). Наиболее значительными с практич. точки зрения представляются два типа составных испытаний: а) составляющие испытания независимы, т. е. вероятности (5) равны безусловным вероятностям Р(Ai), P(Bj), ..., P(Yl); б) на вероятности исходов к.-л. испытания влияют результаты лишь непосредственно предшествующего испытания, т. е. вероятности (5) равны соответственно:[423e3c_48-30.jpg""198""198""198""198""198""16]
В этом случае говорят оО испытаниях, связанных в цепь Маркова. Вероятности всех событий, связанных с составным испытанием, вполне определяются здесь начальными вероятностями P(Ai) и переходными вероятностями [423e3c_48-31.jpg""174""174""174""174""174""14] (см. также Марковский процесс).
Случайные величины. Если каждому исходу Er испытания Т поставлено в соответствие число Xr, то говорят, что задана случайная величина X. Среди чисел x1, x2, ... ..., хs могут быть и равные; совокупность различных значений хr при r = 1,2, ..., s называют совокупностью возможных значений случайной величины. Набор возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей наз. распределением вероятностей случайной величины (см. Распределения). Так, в примере с бросанием двух костей с каждым исходом испытания (i, j) связывается случайная величина X = i + j - сумма очков на обеих костях. Возможные значения суть 2, 3, 4, ..., 11, 12; соответствующие вероятности равны 1/36, 2/36, 3/36, ..., 2/36, 1/36.
При одновременном изучении нескольких случайных величин вводится понятие их совместного распределения, к-рое задаётся указанием возможных значений каждой из них и вероятностей совмещения событий
[423e3c_48-32.jpg""226""226""226""226""226""16](6)
где xk - какое-либо из возможных значений величины Xk Случайные величины называются независимыми, если при любом выборе xk события (6) независимы. С помощью совместного распределения случайных величин можно вычислить вероятность любого события, определяемого этими величинами, напр. события[423e3c_48-33.jpg""62""62""62""62""62""12]
[423e3c_48-34.jpg""202""202""202""202""202""14]
Часто вместо полного задания распределения вероятностей случайной величины предпочитают пользоваться небольшим количеством числовых характеристик. Из них наиболее употребительны математическое ожидание и дисперсия.
В число осн. характеристик совместного распределения нескольких случайных величин, наряду с математич. ожиданиями и дисперсиями этих величин, включаются коэффициенты корреляции и т. п. Смысл перечисленных характеристик в значит, степени разъясняется предельными теоремами (см. раздел Предельные теоремы).
Схема испытаний с конечным числом исходов недостаточна уже для самых простых применений В. т. Так, при изучении случайного разброса точек попаданий снарядов вокруг центра цели, при изучении случайных ошибок, возникающих при измерении к.-л. величины, и т. д. уже невозможно ограничиться испытаниями с конечным числом исходов. При этом в одних случаях результат испытания может быть выражен числом или системой чисел, в других - результатом испытания может быть функция (напр., запись изменения давления в данной точке атмосферы за данный промежуток времени), системы функций и т. п. Следует отметить, что многие данные выше определения и теоремы с незначительными по существу изменениями приложимы и в этих более общих обстоятельствах, хотя способы задания распределений вероятностей изменяются (см. Распределения, Плотность вероятности).
Наиболее серьёзное изменение претерпевает определение вероятности, к-рое в элементарном случае давалось формулой (2). В более общих схемах, о к рых идёт речь, события являются объединениями бесконечного числа исходов (или, как говорят, элементарных событий), вероятность каждого из к-рых может быть равна нулю. В соответствии с этим свойство, выраженное теоремой сложения, не выводится из определения вероятности, а включается в него.
Наиболее распространённая в наст, время логич. схема построения основ В. т. разработана в 1933 сов. математиком А. Н. Колмогоровым. Осн. черты этой схемы следующие. При изучении к.-л. реальной задачи - методами В. т. прежде всего выделяется множество U элементов и, называемых элементарными событиями. Всякое событие вполне описывается множеством благоприятствующих ему элементарных событий и потому рассматривается как нек-рое множество элементарных событий. С нек-рыми из событий А связываются определённые числа Р(А), называемые их вероятностями и удовлетворяющие условиям:
[423e3c_48-35.jpg""282""282""282""282""282""74]
Для создания полноценной математич. теории требуют, чтобы условие 3 выполнялось и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий. Свойства неотрицательности и аддитивности есть осн. свойства меры множества. В. т. может, т. о., с формальной точки зрения рассматриваться как часть меры теории. Основные понятия В. т. получают при таком подходе новое освещение. Случайные величины превращаются в измеримые функции, их математич. ожидания - в абстрактные интегралы Лебега и т. п.-Однако основные проблемы В. т. и теории меры различны. Основным, специфическим для В. т. является понятие независимости событий, испытаний, случайных величин. Наряду с этим В. т. тщательно изучает и такие объекты, как условные распределения, условные математич. ожидания и т. п.
Предельные теоремы. При формальном изложении В. т. предельные теоремы появляются в виде своего рода надстройки
над её элементарными разделами, в к-рых все задачи имеют конечный, чисто ариф-метич. характер. Однако познават. ценность В. т. раскрывается только предельными теоремами. Так, Бернулли теорема показывает, что при независимых испытаниях частота появления к.-л. события, как правило, мало отклоняется от его вероятности, а Лапласа теорема указывает вероятности тех или иных отклонений. Аналогично смысл таких характеристик случайной величины, как её математич. ожидание и дисперсия, разъясняется законом больших чисел и центральной предельной теоремой (см. Больших чисел закон, Предельные теоремы теории вероятностей). Пусть
[423e3c_48-36.jpg""140""140""140""140""140""21](7)
- независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение вероятностей с[423e3c_48-37.jpg""153""153""153""153""153""16]
и Yn - среднее арифметическое первых и величин [423e3c_48-38.jpg""179""179""179""179""179""20] из последовательности (7):
В соответствии с законом больших чисел, каково бы ни было [423e3c_48-39.jpg""42""42""42""42""42""14] вероятность неравенства [423e3c_48-40.jpg""94""94""94""94""94""14] имеет при [423e3c_48-41.jpg""43""43""43""43""43""14] пределом 1, и, т. о., Yn как правило, мало отличается от а. Центральная предельная теорема уточняет этот результат, показывая, что отклонения Yn от а приближённо подчинены нормальному распределению со средним 0 и дисперсией [423e3c_48-42.jpg""32""32""32""32""32""14] Т. о., для определения вероятностей тех или иных отклонений Yn от а при больших n нет надобности знать во всех деталях распределение величин Хn, достаточно знать лишь их дисперсию. В 20-х гг. 20 в. было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых и независимых случайных величин могут вполне ес-теств. образом возникать предельные распределения, отличные от нормального. Так, напр., если X1время до первого возвращения нек-рой случайно меняющейся системы в исходное положение, X2 - время между первым и вторым возвращениями и т. д., то при очень общих условиях распределение суммы [423e3c_48-43.jpg""100""100""100""100""100""14] (т. е. времени до n-го возвращения) после умножения на[423e3c_48-44.jpg""37""37""37""37""37""14] (а - постоянная, меньшая 1) сходится к нек-рому предельному распределению. Т. о., время до n-го возвращения растёт, грубо говоря, как [423e3c_48-45.jpg""36""36""36""36""36""15] т. е. быстрее п (в случае приложимости закона больших чисел оно было бы порядка п),
Механизм возникновения большинства предельных закономерностей может быть до конца понят лишь в связи с теорией случайных процессов.
Случайные процессы. В ряде физич. и химич. исследований последних десятилетий возникла потребность, наряду с одномерными и многомерными случайными величинами, рассматривать случайные процессы, т. е. процессы, для к-рых определена вероятность того или иного их течения. Примером случайного процесса может служить координата частицы, совершающей броуновское движение. В В. т. случайный процесс рассматривают обычно как однопарамет-рич. семейство случайных величин X(t). В подавляющем числе приложений параметр t является временем, но этим параметром может быть, напр., точка пространства, и тогда обычно говорят о случайной функции. В том случае, когда параметр t пробегает целочисленные значения, случайная функция наз. случайной последовательностью. Подобно тому, как случайная величина характеризуется законом распределения, случайный процесс может быть охарактеризован совокупностью совместных законов распределения для[423e3c_48-46.jpg""165""165""165""165""165""15]
для всевозможных моментов времени [423e3c_48-47.jpg""86""86""86""86""86""12] при любом [423e3c_48-48.jpg""36""36""36""36""36""14] В наст, время наиболее интересные конкретные результаты теории случайных процессов получены в двух спец. направлениях. Исторически первыми изучались марковские процессы. Случайный процесс[423e3c_48-49.jpg""36""36""36""36""36""15] наз. марковским, если для любых двух моментов времени[423e3c_48-50.jpg""106""106""106""106""106""13] условное распределение вероятностей[423e3c_48-51.jpg""36""36""36""36""36""15] при условии, что заданы все значения [423e3c_48-52.jpg""30""30""30""30""30""13] при [423e3c_48-53.jpg""40""40""40""40""40""14] зависит только от[423e3c_48-54.jpg""36""36""36""36""36""16] (в силу этого марковские случайные процессы иногда наз. процессами без последействия). Марковские процессы являются естеств. обобщением детерминированных процессов, рассматриваемых в классич. физике. В детерминированных процессах состояние системы в момент времени[423e3c_48-55.jpg""16""16""16""16""16""14]однозначно определяет ход процесса в будущем; в марковских процессах состояние системы в момент времени [423e3c_48-56.jpg""14""14""14""14""14""13] однозначно определяет распределение вероятностей хода процесса при [423e3c_48-57.jpg""40""40""40""40""40""12] причём никакие сведения о ходе процесса до момента времени [423e3c_48-58.jpg""15""15""15""15""15""13] не изменяют это распределение. Вторым крупным направлением теории случайных процессов является теория стационарных случайных процессов. Стационарность процесса, т. е. неизменность во времени его вероятностных закономерностей, налагает сильное ограничение на процесс и позволяет из одного этого допущения извлечь ряд важных следствий (напр., возможность т. н. спектральногоразложения где[423e3c_48-59.jpg""28""28""28""28""28""17] случайная [423e3c_48-60.jpg""165""165""165""165""165""32] функция с независимыми приращениями). В то же время схема стационарных процессов с хорошим приближением описывает многие физ. явления.
Теория случайных процессов тесно связана с классич. проблематикой предельных теорем для сумм случайных величин. Те законы распределения, к-рые выступают при изучении сумм случайных величин как предельные, в теории случайных процессов являются точными законами распределения соответствующих характеристик. Этот факт позволяет доказывать многие предельные теоремы с помощью соответствующих случайных процессов.
Историческая справка. В. т. возникла в сер. 17 в. Первые работы по В. т., принадлежащие франц. учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голл. учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех В. т. связан с именем швейц. математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (опубл. в 1713).
Следующий (второй) период истории В. т. (18 в. и нач. 19 в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это - период, когда В. т. уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (гл. обр. в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы). К этому периоду относится доказательство первых предельных теорем, носящих теперь назв. теорем Лапласа (1812) и Пуассона (1837); А. Лежандром (Франция, 1806) и Гауссом (1808) в это же время был разработан способ наименьших квадратов.
Третий период истории В. т. (2-я пол. 19 в.) связан в основном с именами рус. математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). В. т. развивалась в России и раньше (в 18 в. ряд трудов по В. т. был написан работавшими в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития В. т. следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам В. т., связанным с математич. статистикой, и В. Я. Буняковского по применениям В. т. к страховому делу, статистике и демографии). Со 2-й пол. 19 в. исследования по В. т. в России занимают ведущее место в мире. Чебышев и его ученики Ляпунов и Марков поставили и решили ряд общих задач в В. т., обобщающих теоремы Бернулли и Лапласа. Чебышев чрезвычайно просто доказал (1867) закон больших чисел при весьма общих предположениях. Он же впервые сформулировал (1887) центральную предельную теорему для сумм независимых случайных величин и указал один из методов её доказательства. Другим методом Ляпунов получил (1901) близкое к окончательному решение этого вопроса. Марков впервые рассмотрел (1907) один случай зависимых испытаний, который впоследствии получил назв. цепей Маркова.
В Зап. Европе во 2-й пол. 19 в. получили большое развитие работы по математич. статистике (в Бельгии - А. Кет-ле, в Англии - Ф. Гальтон) и стати-стич. физике (в Австрии - Л. Больц-ман), к-рые наряду с основными теоре-тич. работами Чебышева, Ляпунова и Маркова создали основу для существенного расширения проблематики В. т. в четвёртом (современном) периоде её развития. Этот период истории В. т. характеризуется чрезвычайным расширением круга её применений, созданием нескольких систем безукоризненно строгого математич. обоснования В. т., новых мощных методов, требующих иногда применения (помимо классич. анализа) средств теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа. В этот период при очень большом усилении работы по |
