| орное исчисление и начала тензорного исчисления, 6 изд., Л.- М., 1938; Дубнов Я. С., Основы векторного исчисления, 4 изд., т. 1-2, М., 1950-52; Будак Б. М., Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.
Э. Г. Лозняк.
ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ, область, в каждой точке Р которой задан вектор в(Р). Математически В. п. может быть определено в данной области G посредством вектор-функции а(Р) переменной точки Р этой области. К понятию В. п. приводит целый ряд физ. явлений и процессов (напр., векторы скоростей частиц движущейся жидкости в каждый момент времени образуют В. п.). Теория В. п. широко разработана и имеет разнообразнее применения в различных областях естествознания (см. Векторное исчисление).
Лит.: Будак Б. М., Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.
Э. Г. Позняк.
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ вектора a на вектор b - вектор, обозначаемый [а, b] и определяемый так: 1) длина вектора [а, b]равна произведению длин векторов a и b на синус угла ф между ними (берётся тот из двух углов между а и b, к-рый не превосходит л), 2) вектор [а, b] перпендикулярен вектору а и вектору b, 3) тройка векторов а, b, [а,b], согласно с ориентацией пространства, всегда правая или всегда левая (см. Векторное исчисление). В. п. широко применяется в геометрии, механике и физике (напр., момент силы F, приложенной к точке М относительно
точки О, есть В. п. [423e3c_42-69.jpg""63""63""63""63""63""19] ).
Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968.
Э. Г. Позняк.
ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО, матем. понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.
Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действит. числа (см. Векторное исчисление). В применении к любым векторам
x, у, z и любым числам альфа, бета эти правила удовлетворяют след, условиям (условия А):
1) х+у=у+х (перестановочность сложения);
2) (x+y)+z=x+(y+z) (ассоциативность сложения);
3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию
x + 0=x для любого вектора х;
4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0;
5) 1*х=х;
6) [423e3c_42-70.jpg""122""122""122""122""122""15] (ассоциативность умножения);
7) [423e3c_42-71.jpg""115""115""115""115""115""15] (распределит, свойство относительно числового множителя);
8) [423e3c_42-72.jpg""115""115""115""115""115""15] (распределит, свойство относительно векторного множителя).
Векторным (или линейным) пространством наз. множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в к-ром определены операции сложения элементов и умножения элементов на действит. числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1-3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу).
Выражение
[423e3c_42-73.jpg""151""151""151""151""151""14](1)
наз. линейной комбинацией векторов e1, е2, ..., еn с коэффициентами a1, a2, ..., an. Линейная комбинация (1) наз. нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a1, a2, ..., an отличен от нуля. Векторы e1, е2, ..., еn наз. линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e1, е2, ..., еn равна нулевому вектору) векторы e1, е2, ..., еn наз. линейно независимыми.
Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют след, условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).
В. п. наз. n-мерным (или имеет "размерность n"), если в нём существуют п линейно независимых элементов e1, е2, ..., еn а любые n+ 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. наз. бесконечномерным, если в нём для любого натурального п существует п линейно независимых векторов. Любые п линейно независимых векторов n-мерного В. п. образуют базис этого пространства. Если e1, е2, ..., еn- базис В. п., то любой вектор х этого пространства может быть представлен единств, образом в виде линейной комбинации базисных векторов:
[423e3c_42-74.jpg""176""176""176""176""176""18]
При этом числа a1, a2, ..., an наз. координатами вектора х в данном базисе.
Примеры В. п. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить т. н. п-мерное арифметич. пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из п действит. чисел: [423e3c_42-75.jpg""96""96""96""96""96""14] Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:
[423e3c_42-76.jpg""268""268""268""268""268""46]
Базисом в этом пространстве может служить, напр., след, система из п векторов e1=(l,0,...,0), е2 = (0,1, ..., 0), ..., еn = (0, 0, ..., 1).
Множество R всех многочленов a0 + a1u +... + anun (любых степеней п) от одного переменного с действит. коэффициентами а0, at, ..., сел с обычными алгебр, правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действит. числа образует В. п. Многочлены 1, n, n2, ..., nn (при любом п) линейно независимы в R, поэтому R - бесконечномерное В. п.
Многочлены степени не выше п образуют В. п. размерности n + 1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u2, ..., un.
Подпространства В. п. В. п. R' наз. подпространством R, если[423e3c_42-77.jpg""48""48""48""48""48""13] (то есть каждый вектор пространства R' есть и вектор пространства R) и если для каждого вектора[423e3c_42-78.jpg""36""36""36""36""36""13] и для каждых двух векторов v1 и v2[423e3c_42-79.jpg""73""73""73""73""73""14] вектор[423e3c_42-80.jpg""22""22""22""22""22""14](при любом[423e3c_42-81.jpg""14""14""14""14""14""12]) и вектор v1 и v2 один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v1, v2 как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов x1, x2, ..., xp наз. множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, т. е. векторов вида a1x1 +a2x2+ ... + apxp. В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x1будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x1 Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x1 и x2 будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, к-рую определяют векторы x1 и x2. В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка векторов x1, x2, ..., xр этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство R' В. п. R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R'. Пространство, состоящее из всех многочленов степени[423e3c_42-82.jpg""34""34""34""34""34""14](линейная оболочка многочленов 1, u, u2, ..., un), есть (n+1)-мерное подпространство пространства R всех многочленов.
Евклидовы пространства. Для развития геом. методов в теории В. п. нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т. п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у) и наз. скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись след, аксиомы скалярного произведения:
1) (x,y) = (x,y) (перестановочность);
2) (x1+x2,y) = (x1,y) + (x2,y) (распределит, свойство);
3)[423e3c_42-83.jpg""103""103""103""103""103""13]
4) (х,х)>=0 для любого х, причем (х, x)=0 только для х=0.
Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. В. п., в к-ром определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, наз. евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно наз. гильбертовым пространством. Длина [423e3c_42-84.jpg""21""21""21""21""21""18] вектора х и угол[423e3c_42-85.jpg""29""29""29""29""29""21]между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами
[423e3c_42-86.jpg""236""236""236""236""236""42]
Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мерное (арифметическое) пространство Еn получим, определяя в
и-мерном арифметич. В.п. скалярное произведение векторов [423e3c_42-87.jpg""101""101""101""101""101""14] и у - [423e3c_42-88.jpg""90""90""90""90""90""14] соотношением
[423e3c_42-89.jpg""191""191""191""191""191""14](2)
При этом требования 1) -4), очевидно, выполняются.
В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у наз. ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у) = 0. В рассмотренном пространстве Еn условие ортогональности векторов [423e3c_42-90.jpg""86""86""86""86""86""12] и [423e3c_42-91.jpg""97""97""97""97""97""12] как это следует из соотношения (2), имеет вид:
[423e3c_42-92.jpg""171""171""171""171""171""14](3)
Применение В. п. Понятие В. п. (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, напр., R - множество всех решений линейного однородного дифференциального ур-ния
[423e3c_42-93.jpg""208""208""208""208""208""17]Ясно, что
сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого ур-ния. Т. о., R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является В. п. Любой базис в рассмотренном В. п. наз. фундаментальной системой решений, знание к-рой позволяет найти все решения рассматриваемого ур-ния. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных ур-ний:
[423e3c_42-94.jpg""177""177""177""177""177""40](4)
Рассмотрим в евклидовом пространствеЕn векторы[423e3c_42-95.jpg""182""182""182""182""182""12]2,..., n и вектор-решение[423e3c_42-96.jpg""114""114""114""114""114""12]
Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов Еn, придадим системе (4) след, вид:
[423e3c_42-97.jpg""167""167""167""167""167""13](5)
Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение u ортогонален всем векторам ai. Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов at, т.е. решение и есть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов ai. Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства. Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действит. числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С. Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, М.- Л., 1948.
Э. Г. Позняк.
ВЕКТОР-ПОТЕНЦИАЛ, см. Потенциалы электромагнитного поля.
ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ, векторная функция, функция, значения к-рой являются векторами; см. Векторное исчисление.
0438.htm
ВЕНЕЦ в деревянном строительстве, брёвна или брусья, составляющие один горизонтальный ряд де-
[423e3c_46-1.jpg""272""272""272""272""272""115]
ревянного сруба. Связываются путём врубки в углах с выступающими концами ("в обло") или без них ("в лапу", "в шип"). От количества венцов зависит высота сруба.
ВЕНЕЦИАНОВ Алексей Гаврилович [7(18). 2. 1780, Москва,-4(16). 12. 1847, с. Поддубье Тверской губ.], русский живописец, один из основоположников бытового жанра в рус. живописи, акад. петерб. АХ (1811). Учился у В. Л. Боровиковского, служил в Петербурге чиновником (с 1807). В ранний период писал интимные лирич. портреты; нек-рые из них своей эмоциональностью близки романтизму (портреты А. И. Бибикова, 1805-08, Русский музей, Ленинград, М. А. Фонвизина, пастель, 1812, Эрмитаж, Ленинград). В кон. 1807 подготовил 4 офорта ("Вельможа" и др.) для предпринятого им издания "Журнала карикатур на 1808 год в лицах" - первого в России иллюстративного юморис-тич. листка, к-рый был запрещён цензурой за сатиру на бюрократизм и развращённость чиновной знати. В период Отечественной войны 1812 выступил о карикатурами на французов и дворян-галломанов. Одновременно создал ряд жанровых рисунков, запечатлевших эпизоды гор. уличной жизни и дворянского быта. С 1819, оставив службу, поселился в дер. Сафонково Тверской губ., где стал писать сцены сельского быта и портреты-типы крестьян ("Очищение свёклы", пастель, до 1822, "Гумно", ок. 1821-23, "Утро помещицы", 1823, "Спящий пастушок"., 1823-24, - все в Русском музее; "На пашне. Весна", 1820-е гг., "На жатве. Лето", 1820-е гг., "Голова старика-крестьянина", 1825, "Захарка", 1825, "Крестьянка с васильками", 1820-е гг.,- все в Третьяковской гал.). Темы и персонажи этих произв., а также и сам метод их создания - путём углублённой работы с натуры - противоречили установкам АХ и сыграли решающую роль в становлении нового художеств, направления, в основе к-рого лежало стремление к правдивому отражению жизни. Такая направленность интересов В. была связана с демократич. воззрениями передовой части рус. общества периода 1810- 1820-х гг. Стремясь увидеть в действительности не только характерное, но и прекрасное, В. в своих картинах создаёт отмеченный чертами идеализации поэтический образ крест, жизни, воспевает красоту труда и природы. Крестьян, изображённых В., отличают человеческое достоинство, благородство, простота; порой в их внеш. облике сохраняются черты той идеальной красоты, к-рую утверждал в иск-ве классицизм. Лирический пейзаж, играющий значит, роль в картинах художника, тонко передаёт своеобразную прелесть среднерус. природы. Изображая человека в реальной жизненной среде, В. придавал также большое значение работе живописца на открытом воздухе. Это позволило ему высветлить палитру, сделать её способной передавать оттенки цвета при рассеянном дневном освещении. С 1830-х гг., в сложной обстановке нарастающих социальных противоречий рус. жизни, творчество В. постепенно утрачивает передовой характер. Большую роль сыграла педагогическая деятельность В. (см. Венецианов-ская школа). Илл. см. на вклейке к стр. 353.
Лит.: Савинов Л. Н., А. Г. Венецианов, Жизнь и творчество, М., 1955; Алексеева Т. В., Венецианов и развитие бытового жанра, в кн.: История русского искусства, т. 8, кн. 1, М., 1963, с. 546-98.
М. М. Ракова.
ВЕНЕЦИАНОВСКАЯ ШКОЛА, группа русских живописцев 2-й четверти 19 в., учеников художника А. Г. Венецианова, преподававшего в Петербурге и дер. Сафонково Тверской губ. Наиболее известные из них: Н. С. Крылов (1802-31), А. В. Тыранов (1808-59), Е. Ф. Крендов-ский (1810- после 1853), Л. К. Плахов (1810-81), А. А. Алексеев (1811-78), А. Г. Денисов (1811-34), С. К. Зарян-ко (1818-70), Г. В. Сорока (1823-64). Следуя принципам учителя, мастера В. ш. изображали жизнь демократич. кругов общества ("Матросы в сапожной мастерской" А. Г. Денисова, 1832, Рус. музей, Ленинград), писали гор. и сел. пейзажи ("Рыбаки. Вид на озеро Мол-
дино" Г. В. Сороки, 1840-е гг., Русский музей), интерьеры ("Мастерская А. Г. Венецианова" А. А. Алексеева, 1827, Рус. музей), натюрморты ["Отражение в зеркале" Г. В. Сороки (?), 1840-е гг., Рус. музей]. Произв. В. ш. отмечены поэтич. непосредственностью воплощения окружающей жизни. С сер. 1830-х гг. творчество нек-рых художников В. ш. под влиянием академич. иск-ва, в частности К. П. Брюллова, теряет демократич. и интимный характер, приобретая черты внеш. эффектности и натурализма (портрет Н. В. Сокуровой работы С. К. Зарянко, 1854, Рус. музей). Творчество художников В. ш. представляет значит, этап в становлении реализма в рус. иск-ве 1-й пол. 19 в.
Лит.: Алексеева Т. В., Художники школы Венецианова, М., 1958. М. М. Ракова.
ВЕНЕЦИАНСКАЯ НИЗМЕННОСТЬ, восточная, наиболее низкая и плоская часть Паданской равнины на С.-В. Италии, прилегающая к Адриатич. м. Вые. менее 100 л. Сложена преим. глинистыми и илистыми отложениями. Пересекается р. По и множеством более мелких рек. Почти сплошь распахана. Земледелие гл. обр. зернового направления. Садоводство. Густая сеть мелиоративных каналов. Крупные города - Венеция, Падуя, Верона.
ВЕНЕЦИАНСКАЯ ШКОЛА живописи, одна из главных живописных школ Италии. Пережила наибольший расцвет во 2-й пол. 15-16 вв., в эпоху Возрождения, когда Венеция была богатой патрицианской республикой, крупным торг, центром Средиземноморья. Осознание чувственной полноты и красочности земного бытия, свойственное эпохе Возрождения, нашло в живописи В. ш. яркое художеств, выражение. В. ш. выделяют преобладание живописных начал, совершенное владение пла-стически-выразит. возможностями масляной живописи, особое внимание к проблемам колорита.
Начало развития В. ш. относится к 14 в., когда для неё характерно переплетение визант. и готич. художеств, традиций. Произведениям Паоло и Лоренцо Венециано присущи плоскостность изображений, отвлечённость золотых фонов, декоративная орнаментальность. Однако уже их отличает праздничная звучность чистых красок. В сер. 15 в. в В. ш. появляются ренессансные тенденции, усиленные проникавшими через Падую флорентийскими влияниями. В работах мастеров раннего венецианского Возрождения (сер. и 2-я пол. 15 в.) - братьев Виварини, Якопо Беллини и особенно Джентиле Беллини и Витторе Карпаччо - нарастают светские начала, усиливается стремление к реалистич. изображению окружающего мира, передаче пространства и объёма; традиц. религ. сюжеты становятся поводом для увлечённого подробного рассказа о красочной повседневной жизни Венеции. Особое место занимает декоративно-утончённое готи-зирующее иск-во К. Кривелли. В творчестве Антонелло да Мессина, пр |
