| ряда учёных было создано В. и., в к-ром операции проводились непосредственно над векторами, без обращения к координатному способу задания. Основы В. и. были заложены исследованиями англ, математика У. Гамильтона и нем. математика Г. Грасмана по гиперкомплексным числам (1844-50). Их идеи были использованы англ, физиком Дж. К. Максвеллом в его работах по электричеству и магнетизму. Совр. вид В. и. придал амер. физик Дж. Гиббс. Значит, вклад в развитие В. и. внесли рус. учёные. В первую очередь следует отметить работы М. В. Остроградского. Им была доказана основная теорема векторного анализа (см. Остроградского формула). Исследования казанского математика А. П. Котельникова по развитию винтового исчисления имели важное значение для механики и геометрии. Эти исследования были продолжены сов. математиками Д. Н. Зейлигером и П. А. Широковым. Большое влияние на развитие В. и. имела кн. "Векторный анализ", написанная в 1907 рус. математиком П. О. Сомовым.
Векторная алгебра. Вектором наз. направленный отрезок (рис. 1), т. е. отрезок, у к-рого указаны начало (наз. также точкой приложения вектора) и конец. Длина направленного отрезка, изображающего вектор, наз. длиной, или модулем, вектора. Длина вектора а обозначается [423e3c_42-19.jpg""26""26""26""26""26""16] . Векторы наз. кол-линеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора наз. равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Все нулевые векторы считаются равными. Изображённые на рис. 1 векторы а и b коллинеарны и равны. В В. и. рассматриваются свободные векторы.
В векторной алгебре важную роль играют линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на действит. число. Суммой а + b векторов а и b наз. вектор,
идущий из начала вектора а в конец вектора 6 при условии, что начало вектора 6 приложено к концу вектора а (рис. 2). Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов (рис. 3), источником к-рого является экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу. Построение суммы нескольких векторов ясно из рис. 4. Произведением сея вектора а на число а наз. вектор, коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную [423e3c_42-20.jpg""49""49""49""49""49""16] и направление, совпадающее с направлением а при а>0 и противоположное а при а < 0. Вектор -1 • а наз. противоположным вектору а и обозначается - а. Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают след, свойствами:
[423e3c_42-21.jpg""275""275""275""275""275""319]
В векторной алгебре часто используется понятие линейно зависимых и линейно независимых векторов. Векторы a1, a2, ..., an наз. линейно зависимыми, если найдутся такие числа
a1, a2, ... an из которых хотя бы одно отлично от нуля , что линейная комбинация a1a1+...anan этих векторов равна нулю. Векторы a1, а2,...,аn, не являющиеся линейно зависимыми, наз. линейно независимыми. Отметим, что любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми.
Векторы евклидова пространства обладают след, свойством: существуют три линейно независимых вектора, любые же четыре вектора линейно зависимы. Это свойство характеризует трёхмерность рассматриваемого множества векторов. В сочетании с перечисленными выше свойствами указанное свойство означает, что совокупность всех векторов евклидова пространства образует т. н. векторное пространство. Линейно независимые векторы e1, е2, е3образуют базис. Любой вектор а может быть единственным образом разложен по базису: а = Xe1 + Ye2 + Ze3; коэффициенты X, Y, Z наз. координатами (компонентами) вектора а в данном базисе. Если вектор а имеет координаты X, Y, Z, то это записывают так: а = {X, У, Z}. Три взаимно ортогональных (перпендикулярных) вектора, длины к-рых равны единице и к-рые обычно обозначают так: i, j, k, образуют т. н. ортонормированный базис. Если эти векторы поместить началами в одну точку О, то они образуют в пространстве декартову прямоугольную систему координат.
[423e3c_42-22.jpg""238""238""238""238""238""148]
Координаты X, У, Z любой точки М в этой системе определяются как координаты вектора ОМ (рис. 5). Указанным выше линейным операциям над векторами отвечают аналогичные операции над их координатами: если координаты векторов a и b равны соответственно {Х1,Y1,Z1}и {Х2, Y2, Z2}, то координаты суммы а + о этих векторов равны {Xi + Х2, Y1 + Y2, Z1 + Z2}, координаты вектора Ля равны[423e3c_42-23.jpg""128""128""128""128""128""16]
Развитие и применение векторной алгебры тесно связано с различными типами векторных произведений: скалярного, векторного и смешанного. Понятие скалярного произведения векторов возникает, напр., при рассмотрении работы силы F на заданном пути S: работа равна [423e3c_42-24.jpg""69""69""69""69""69""15] , где ф - угол между векторами F и S. Математически скалярное произведение векторов a и b определяется как число, обозначаемое (а, Ь) и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
[423e3c_42-25.jpg""146""146""146""146""146""19]
Величина [423e3c_42-26.jpg""53""53""53""53""53""16] наз. проекцией вектора b на ось, определяемую вектором а, и обозначается [423e3c_42-27.jpg""42""42""42""42""42""16] Поэтому
[423e3c_42-28.jpg""110""110""110""110""110""19]В частности, если а - единичный вектор [423e3c_42-29.jpg""60""60""60""60""60""16] то (a, b)= = прab. Очевидны след, свойства скалярного произведения:
[423e3c_42-30.jpg""253""253""253""253""253""40]
причём равенство нулю имеет место лишь при a=0. Если в ортонормированием базисе i, j, k векторы a и b имеют соответственно координаты[423e3c_42-31.jpg""160""160""160""160""160""18]
то[423e3c_42-32.jpg""254""254""254""254""254""86]
Для определения векторного произведения векторов нужно понятие левой и правой упорядоченной тройки векторов. Упорядоченная тройка векторов а, b, с (а - первый вектор, b - второй,
[423e3c_42-33.jpg""224""224""224""224""224""95]
с - третий), приведённых к общему началу и не лежащих в одной плоскости, наз. правой (левой), если они располагаются так, как могут быть располо-
жены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки. На рис. 6 изображены справа - правая, а слева - левая тройки векторов.
Векторным произведением векторов a и b наз. вектор, обозначаемый [423e3c_42-34.jpg""42""42""42""42""42""15] и удовлетворяющий след, требованиям: 1) длина вектора [а, b]равна произведению длин векторов а и о на синус угла [423e3c_42-35.jpg""16""16""16""16""16""14]между ними (т. о., если в и Ь коллинеарны, то [а, b] = 0); 2) если я и Ь неколлинеарны, то [a, b] перпендикулярен каждому из векторов а и b и направлен так, что тройка векторов a, b, [а, b] является правой. Векторное произведение обладает след, свойствами:
[423e3c_42-36.jpg""279""279""279""279""279""52]
Если в ортонормированием базисе i, j, k, образующем правую тройку, векторы a и b имеют соответственно координаты {X1Y1Z1} и {X2,Y2,Z2}, то [a,b] = - {Y1Z2-Y2Z1, Z1X2-Z2X1, Х1Y2-Х2Y1}. Понятие векторного произведения связано с различными вопросами механики и физики. Напр., скорость v точки М тела, вращающегося с угловой скоростью
со вокруг оси I, равна[423e3c_42-37.jpg""123""123""123""123""123""20]
Смешанным произведением векторов а, Ь и с наз. скалярное произведение вектора [a,b] на вектор с: ([a,b], с). Обозначается смешанное произведение символом abc. Смешанное произведение не параллельных одной плоскости векторов а, b и с численно равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и с, взятому со знаком плюс, если тройка а, b, с правая, и со знаком минус, если тройка левая. Если же векторы a, b и с параллельны одной плоскости, то abc = 0. Справедливо также след, свойство abc=bca=cab. Если координаты векторов a, b и с в ортонормированном базисе i, j, k, образующем правую тройку, соответственно равны {Х1 Y1 Z1}, {Х2 Y2 Z2} и {Х3, Y3, Z3},
[423e3c_42-38.jpg""143""143""143""143""143""41]
Вектор-функции скалярных аргументов. В механике, физике, дифференциальной геометрии широко используется понятие вектор-функции одного или неск. скалярных аргументов. Если каждому значению переменной t из нек-рого множества {t} ставится в соответствие по известному закону определённый вектор r, то говорят, что на множестве {t} задана вектор-функция (векторная функция) r = r(t) Так как вектор r определяется координатами {x,y,z}, то задание вектор-функции r=r(t) эквивалентно заданию
[423e3c_42-39.jpg""208""208""208""208""208""126]
трёх скалярных функций: х = x(t), y = y(t), z = z(t). Понятие вектор-функции становится особенно наглядным, если обратиться к т. н. годографу этой функции, т. е. к
геом. месту концов всех векторов r(t), приложенных к началу координат О (рис. 7). Если при этом рассматривать аргумент t как время, то вектор-функция r(t) представляет собой закон движения точки М, движущейся по кривой L - годографу функции r(t).
Для изучения вектор-функций важную роль играет понятие производной. Это понятие вводится следующим образом: аргументу t придаётся приращение[423e3c_42-40.jpg""40""40""40""40""40""12] и вектор[423e3c_42-41.jpg""133""133""133""133""133""12] (на рис. 7 это вектор [423e3c_42-42.jpg""28""28""28""28""28""15]) множится на [423e3c_42-43.jpg""31""31""31""31""31""15] Предел выражения [423e3c_42-44.jpg""41""41""41""41""41""16] при [423e3c_42-45.jpg""40""40""40""40""40""14] наз. производной вектор-функции r(t) и обозначается r'(t) или dr/dt. Производная представляет собой вектор, касательный к годографу L в данной точке М. Если вектор-функция рассматривается как закон движения точки по кривой L, то производная r'(t) равна скорости движения этой точки. Правила вычисления производных различных произведений вектор-функций подобны правилам вычисления производных произведений [423e3c_42-46.jpg""212""212""212""212""212""32] обычных функций. Например,
В дифференциальной геометрии вектор-функции одного аргумента используются для задания кривых. Для задания поверхностей пользуются вектор-функциями двух аргументов.
Векторный анализ. В механике, физике и геометрии широко используются понятия скалярного и векторного поля. Темп-pa неравномерно нагретой пластинки, плотность неоднородного тела представляют собой физ. примеры соответственно плоского и пространственного скалярного поля. Векторное поле образует множество всех векторов скоростей частиц установившегося потока жидкости. Примерами векторных полей могут служить также поле силы тяжести, магнитное и электрич. напряжение электромагнитного поля.
Для матем. задания скалярных и векторных полей используются соответственно скалярные и векторные функции. Ясно, что плотность тела представляет собой скалярную функцию точки, а поле скоростей частиц установившегося потока жидкости - векторную функцию точки. Матем. аппарат теории поля обычно наз. векторным анализом. Для геом. характеристики скалярного поля используются понятия линий и поверхностей уровня. Линией уровня плоского скалярного поля наз. линия, на к-рой функция, задающая поле, имеет постоянное значение. Аналогично определяется поверхность уровня пространственного поля. Примерами линии уровня могут служить изотермы - линии уровня скалярного поля темп-р неравномерно нагретой пластинки.
Обратимся к поверхности (линии) уровня скалярного поля, проходящей через данную точку М. При смещении по нормали к этой поверхности (линии) в точке М наблюдается макс, изменение в этой точке функции f, задающей поле. Это изменение характеризуется с помощью градиента скалярного поля. Градиент представляет собой вектор, направленный по нормали к поверхности (линии) уровня в точке М в сторону возрастания f в этой точке. Величина градиента равна производной f в указанном направлении. Обозначается градиент символом grad f. В базисе i, j, k градиент grad f
имеет координаты [423e3c_42-47.jpg""101""101""101""101""101""30] для плоского поля координаты градиента равны [423e3c_42-48.jpg""68""68""68""68""68""32] Градиент скалярного
поля представляет собой векторное поле.
Для характеристики векторных полей вводится целый ряд понятий: векторной линии, векторной трубки, циркуляции векторного поля, дивергенции и вихря (ротора) векторного поля. Пусть в нек-рой области[423e3c_42-49.jpg""17""17""17""17""17""13]задано векторное поле посредством векторной функции а(М) переменной точки М из [423e3c_42-50.jpg""18""18""18""18""18""14] Линия L в области
[423e3c_42-51.jpg""16""16""16""16""16""13]наз. векторной линией, если вектор касательной в каждой её точке М направлен по вектору а(М) (рис. 8). Если поле а(М) - поле скоростей частиц стационарного потока жидкости, то векторные линии этого поля - траектории частиц жидкости. Часть пространства в [423e3c_42-52.jpg""22""22""22""22""22""14] состоящая из векторных линий, наз. векторной трубкой (рис. 9). Если обратиться к векторному
[423e3c_42-53.jpg""282""282""282""282""282""134]
полю скоростей частиц стационарного потока жидкости, то векторная трубка есть часть пространства, к-рую "заметает" при своём перемещении нек-рый фиксированный объём жидкости.
Пусть АВ - нек-рая гладкая линия в[423e3c_42-54.jpg""28""28""28""28""28""14]- длина дуги АВ, отсчитываемая от точки А до переменной точки М этой линии, t - единичный вектор касательной к АВ в М. Циркуляцией поля а(М) вдоль кривой АВ наз. выражение
[423e3c_42-55.jpg""76""76""76""76""76""22]
Если а(М) - силовое поле, то циркуляция а вдоль АВ представляет собой работу этого поля вдоль пути АВ.
Дивергенция векторного поля а(М), имеющего в базисе i, j, k координаты Р, Q, R, определяется как
сумма и обозначается
символом [423e3c_42-56.jpg""109""109""109""109""109""31] div а. Напр., дивергенция гравитац. поля, создаваемого нек-рым распределением масс, равна плотности (объёмной) р(х, у, z) этого поля, умноженной на 4л.
Вихрь (или ротор) векторного поля а(М) представляет собой векторную характеристику "вращательной составляющей" этого поля. Вихрь поля а обозначается rot а. Если Р, Q, R- координаты а в базисе i, j, k, то
[423e3c_42-57.jpg]
Пусть поле а есть поле скоростей потока жидкости. Поместим в данной точке потока малое колесико с лопастями и ориентируем его ось по направлению rot а в этой точке. Тогда скорость потока будет максимальной, а её значение будет
равно [423e3c_42-58.jpg""73""73""73""73""73""27] Градиент скалярного
поля, дивергенция и вихрь векторного поля обычно наз. основными дифференциальными операциями векторного
анализа. Справедливы след, формулы, связывающие [423e3c_42-59.jpg""226""226""226""226""226""65] эти операции:
Векторное поле а(М) наз. потенциальным, если это поле представляет собой градиент нек-рого скалярного поля f(M). При этом поле f(M) наз. потенциалом векторного поля а. Для того чтобы поле а, координаты к-рого Р, Q, R имеют непрерывные частные производные, было потенциальным, необходимо и достаточно обращение в нуль вихря этого поля. Если в односвязной области [423e3c_42-60.jpg""16""16""16""16""16""16] задано потенциальное поле а(М), то потенциал f(M) этого поля может
быть найден по формуле[423e3c_42-61.jpg""108""108""108""108""108""24] в к-рой AM - любая гладкая кривая, соединяющая фиксированную точку А из Q с точкой М, t - единичный вектор касательной кривой AM и l - длина дуги AM, отсчитываемая от точки А.
Векторное поле а(М)наз. соленоидальным, или трубчатым, если это поле представляет собой вихрь нек-рого поля b(М). Поле b(М) наз. векторным потенциалом поля а. Для того чтобы а было соленои-дальным, необходимо и достаточно обращение в нуль дивергенции этого поля. В векторном анализе важную роль играют интегральные соотношения: Остроградского формула, именуемая также основной формулой векторного анализа, и Стокса формула. Пусть V - область, граница Г к-рой состоит из конечного числа кусков гладких поверхностей, п - единичный вектор внешней нормали к Г. Пусть в области V задано такое векторное поле а(М), что div а представляет собой непрерывную функцию. Тогда справедливо соотношение
[423e3c_42-62.jpg""193""193""193""193""193""29](1)
наз. формулой Остроградского.
Если а - поле скоростей установившегося потока несжимаемой жидкости, то [423e3c_42-63.jpg""62""62""62""62""62""15] - объём жидкости, протекающей в единицу времени через площадку da на границе Г. Поэтому правая часть формулы (1) представляет собой поток жидкости через границу Г тела V в единицу времени. Так как в рассматриваемом случае div а характеризует интенсивность источников жидкости, то формула Остроградского выражает след, наглядный факт: поток жидкости через замкнутую поверхность Г равен количеству жидкости, порождаемой всеми источниками, расположенными внутри Г. Пусть в области Q задано непрерывное и дифференцируемое векторное поле а, имеющее непрерывный вихрь rot а. Пусть Г - ориентируемая поверхность, состоящая из конечного числа кусков гладких поверхностей, и - единичный вектор нормали к Г, t - единичный вектор касательной к краю у поверхности Г, l - длина дуги у. Справедливо след. соотношение
[423e3c_42-64.jpg""201""201""201""201""201""28](2)
наз. формулой Стокса. Формула (2) выражает следующий физ. факт: поток вихря векторного поля а через поверхность Г равен циркуляции этого поля вдоль кривой [423e3c_42-65.jpg""19""19""19""19""19""14] Формула Остроградского служит источником инвариантного (независящего от выбора системы координат) определения осн. операций векторного анализа. Напр., из этой формулы вытекает, что
[423e3c_42-66.jpg""191""191""191""191""191""43](3)
Так как выражение[423e3c_42-67.jpg""84""84""84""84""84""24] представляет собой поток жидкости
через [423e3c_42-68.jpg""131""131""131""131""131""26] - величину этого потока на единицу объёма, то определение div ас помощью соотношения (3) показывает, что div а характеризует интенсивность источника в данной точке.
Лит.: Кочин Н. Е., Вект |
