| ЧИСЛЕНИЕ, математическая дисциплина, посвящённая отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов - переменных величин, зависящих от выбора одной или неск. функций. В. и. является естеств. развитием той главы матем. анализа, к-рая посвящена задаче отыскания экстремумов функций. Возникновение и развитие В. и. тесно связано с задачами механики, физики и т. д. Одной из первых задач В. и. была знаменитая задача о брахистохроне (И. Бернулли, 1696): определить форму кривой, лежащей в вертикальной плоскости, по к-рой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдёт из верх, положения А в ниж. положение В за минимум времени. Эта задача сводится к отысканию функции у(х), доставляющей минимум функционалу
[423e3c_41-3.jpg""189""189""189""189""189""50]
где а и b - абсциссы точек Л -и В.
Другой такой же "исторической" задачей является задача об отыскании пути, вдоль к-рого распространяется свет, идущий от источника света (точка А) к нек-рой точке В, в среде с переменной оптич. плотностью (т. е. в среде, где скорость распространения v есть функция координат). Для решения этой задачи может быть использован т. н. Ферма принцип, согласно к-рому из всех кривых, соединяющих точки А и В, луч света распространяется вдоль той, по к-рой свет приходит из Л в В за кратчайшее время. В простейшем случае, когда свет распространяется в плоскости, задача сводится к отысканию кривой у(х), доставляющей [423e3c_41-4.jpg""193""193""193""193""193""46] минимум функционалу.
Из разрозненных задач подобного рода постепенно в 18 в. начало формироваться В. и. Но и после оформления В. и. в самостоят, дисциплину она продолжала оставаться связанной с различными проблемами механики и физики. На протяжении 2-й пол. 18 в. и всего 19 в. делались интенсивные попытки построить здание механики, опираясь на нек-рые общие вариац. принципы (см. Вариационные принципы механики). Со 2-й пол. 19 в. начинают разрабатываться различные вариац. принципы в механике сплошных сред, затем позднее в квантовой механике, электродинамике и т. д. Возникают вариац. принципы и в средах с диссипацией энергии. Исследования во всех подобных областях продолжают служить базой формирования новых задач В. и. и областью приложения её методов. Однако со временем появились и новые классы задач, далеко раздвинувших традиционные границы дисциплины и превративших В. и. в одну из наиболее обширных ветвей современной математики, включающей в себя, с одной стороны, самые абстрактные вопросы, относящиеся в равной степени к топологии и функциональному анализу, а с другой - разнообразные вычислительные методы решения технических или экономических задач.
Прямые методы. В. и. как самостоят, науч. дисциплина сформировалась в 18 в., гл. обр. благодаря работам Л. Эйлера.
Простейшей задачей В. и. называют задачу отыскания функции x(t), доставляющей экстремум функционалу
[423e3c_41-5.jpg""198""198""198""198""198""34](1)
где F - непрерывная и дифференцируемая функция своих аргументов. При этом функция x(t) должна удовлетворять след, условиям:
а) она должна быть кусочно дифференцируемой,
б) при t = t0и t = T она должна принимать значения
[423e3c_41-6.jpg""162""162""162""162""162""18](2)
Обе задачи, рассмотренные в начале статьи, являются частными случаями простейшей задачи В. и.
Первые вариац. задачи были задачами механики. Они были поставлены в 18 в. и, следуя традициям того времени, первый вопрос, на к-рый надо было ответить, был вопрос о способе фактич. отыскания функции x(t), реализующей минимум функционала (1).
Эйлер создал численный метод решения задач В. и., к-рый получил назв. Эйлера метода ломаных. Этот метод был первым среди большого класса т. н. прямых методов; все они основаны на редукции задачи отыскания экстремума функционала к задаче отыскания экстремума функции многих переменных. Поскольку для получения решения с высокой точностью задачу приходится сводить к отысканию экстремума функции с большим числом переменных, она становится весьма сложной для ручного счёта. Поэтому долгое время прямые методы были вне осн. русла, по к-рому направлялись усилия математиков, занимавшихся В. и.
В 20 в. интерес к прямым методам значительно усилился. Прежде всего были предложены новые способы редукции к задаче об экстремуме функции конечного числа переменных. Поясним эти идеи на простом примере. Рассмотрим снова задачу отыскания минимума функционала (1) при дополнит, условии
[423e3c_41-7.jpg""127""127""127""127""127""18](3)
и будем разыскивать решение задачи в форме
[423e3c_41-8.jpg""142""142""142""142""142""32]
где [423e3c_41-9.jpg""34""34""34""34""34""19] - нек-рая система функций, удовлетворяющих условиям типа (3). Тогда функционал J(x) становится функцией коэффициентов at:
[423e3c_41-10.jpg""144""144""144""144""144""21]
и задача сводится к отысканию минимума этой функции N переменных. При известных условиях, наложенных на систему функций[423e3c_41-11.jpg""30""30""30""30""30""16], решение этой задачи стремится при[423e3c_41-12.jpg""42""42""42""42""42""12] к решению задачи (1) (см. Ритца и Галёркина методы).
Другая причина усиления интереса к прямым методам - это систематическое изучение конечноразностных методов в задачах математической физики, начавшееся с 20-х гг. 20 в. Применение ЭВМ превращает постепенно прямые методы в осн. инструмент решения вариац. задач.
Метод вариаций. Второе направление исследований - это изучение необходимых и достаточных условий, к-рым должна удовлетворять функция x(t), реализующая экстремум функционала J(x). Его возникновение также связано с именем Эйлера. Предположим, что тем или иным способом построена функция x(t). Как проверить, является ли эта функция решением задачи? Первый вариант ответа на этот вопрос был дан Эйлером в 1744. В приведённой ниже формулировке этого ответа употребляется введённое в 60-х гг. 18 в. Ж. Лагранжем понятие вариации (отсюда название - В. и.), являющееся обобщением понятия дифференциала на случай функционалов.
Пусть x(t) - функция, удовлетворяющая условию (2), a h(t) - произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию h(t0)=h(T)=0. Тогда величина[423e3c_41-13.jpg""116""116""116""116""116""18]
где [423e3c_41-14.jpg""12""12""12""12""12""13] - произвольное действит. число будет функцией е. Вариацией [423e3c_41-15.jpg""20""20""20""20""20""16] функционала J паз. производную
[423e3c_41-16.jpg""91""91""91""91""91""24]
Для простейшей задачи В. и.
[423e3c_41-17.jpg""273""273""273""273""273""34]
Разлагая полученное выражение в ряд по степеням е, получим
[423e3c_41-18.jpg""278""278""278""278""278""66]
где[423e3c_41-19.jpg""28""28""28""28""28""18] - члены более высокого порядка. Так как h(t0) = h(T)=0, то, проведя интегрирование по частям во втором интеграле, найдём
[423e3c_41-20.jpg""206""206""206""206""206""74]
Пусть теперь x(t) реализует экстремум. Тогда функция [423e3c_41-21.jpg""37""37""37""37""37""16] имеет экстремум при [423e3c_41-22.jpg""34""34""34""34""34""13] Поэтому величина [423e3c_41-23.jpg""19""19""19""19""19""14] должна обратиться в нуль. Отсюда следует: для того чтобы функция x(t) доставляла экстремум функционалу (1), необходимо, чтобы она удовлетворяла ур-нию
[423e3c_41-24.jpg""143""143""143""143""143""36](4)
называемому ур-нием Эйлера.
Это - дифференциальное ур-ние 2-го порядка относительно функции x(t). Необходимое условие [423e3c_41-25.jpg""20""20""20""20""20""14]=0 может быть применено в ряде случаев для эффективного отыскания решения вариац. задачи, поскольку функция x(t) необходимо должна быть решением краевой задачи .х(t0)=х0, х(Т)=хT для ур-ния (4). Если найдено это решение и оно единственно, то найдено тем самым и решение исходной вариац. задачи. Если краевая задача допускает неск. решений, то достаточно вычислить значение функционала для каждого из решений краевой задачи и выбрать из них то, к-рому отвечает наименьшее значение J(x). Однако указанный путь обладает одним существ, недостатком: не существует универсальных способов решения краевых задач для обыкновенных (нелинейных) дифференциальных ур-ний.
Уже во 2-й пол. 18 в. круг задач, изучаемых В. и., значительно расширился. Прежде всего осн. результаты, относящиеся к простейшей задаче В. и., были перенесены на общий случай интегральных функционалов вида
[423e3c_41-26.jpg""199""199""199""199""199""42]
где x(t) - вектор-функция произвольной размерности, и на функционалы ещё более общего вида.
Условный экстремум. Задача Лагранжа. В кон. 18 в. был сформулирован ряд задач на условный экстремум. Этим термином принято называть задачи отыскания функции x(t), доставляющей экстремум функционалу J(x) при к.-л. дополнит, условиях, кроме условий на концах интервала (t0,Т). Простейшей задачей подобного вида является класс т. н. изопериметрических задач. Своим названием этот класс задач обязан следующей: среди всех замкнутых кривых данной длины найти ту, к-рая ограничивает максим, площадь.
Значительно более сложной задачей является та, в к-рой ограничения носят характер дифференциальных ур-ний. Эту задачу наз. задачей Лагранжа; особое значение она приобрела в сер. 20 в. в связи с созданием теории оптимального управления. Поэтому её формулировка даётся ниже на языке этой теории, возникшем после работ Л. С. Понтрягина и его учеников.
Пусть x(t) и u(t) - вектор-функции размерностей я и то соответственно, причём функция x(t), к-рую наз. фазовым вектором, при t = t0 и t = T удовлетворяет граничным условиям:
[423e3c_41-27.jpg""176""176""176""176""176""24](5)
где [423e3c_41-28.jpg""21""21""21""21""21""12] и [423e3c_41-29.jpg""18""18""18""18""18""12]- нек-рые множества. Простейшим примером условий типа (5) являются условия (2). Функция x(t) и функция u(t), к-рую наз. управлением, связаны условием
[423e3c_41-30.jpg""140""140""140""140""140""20](6)
где f - дифференцируемая вектор-функция своих аргументов. Рассматриваемая задача состоит в следующем: определить функции x(t) и u(t), доставляющие экстремум функционалу
[423e3c_41-31.jpg""187""187""187""187""187""30](7)
Заметим, что и простейшая задача В. и. и изопериметрич. задача являются частным случаем задачи Лагранжа.
Задача Лагранжа имеет огромное прикладное значение. Пусть, напр., ур-ние (6) описывает движение к.-л. динамич. объекта, напр, космич. корабля. Управление и - это вектор тяги его двигателя. Множества [423e3c_41-32.jpg""23""23""23""23""23""15] и [423e3c_41-33.jpg""19""19""19""19""19""11] - это две орбиты разных радиусов. Функционал (7) описывает расход горючего на выполнение манёвра. Следовательно, задачу Лагранжа, применительно к данной ситуации, можно сформулировать след, образом: определить закон изменения тяги двигателя космич. аппарата, совершающего переход с орбиты [423e3c_41-34.jpg""15""15""15""15""15""14] на орбиту [423e3c_41-35.jpg""16""16""16""16""16""13] за заданное время так, чтобы расход топлива на этот манёвр был минимальным.
Важную роль в теории подобных задач играет функция Гамильтона
[423e3c_41-36.jpg""178""178""178""178""178""20]
Здесь[423e3c_41-37.jpg""14""14""14""14""14""14]- вектор, наз. множителем Лагранжа (или импульсом), [423e3c_41-38.jpg""44""44""44""44""44""15] означает скалярное произведение векторов[423e3c_41-39.jpg""43""43""43""43""43""16] Необходимое условие в задаче Лагранжа формулируется след, образом: для того чтобы функции[423e3c_41-40.jpg""33""33""33""33""33""20]и[423e3c_41-41.jpg""32""32""32""32""32""19]были решением задачи Лагранжа, необходимо, чтобы [423e3c_41-42.jpg""27""27""27""27""27""18] была стационарной точкой функции Гамильтона [423e3c_41-43.jpg""76""76""76""76""76""15] т. е. чтобы при [423e3c_41-44.jpg""35""35""35""35""35""17] было [423e3c_41-45.jpg""70""70""70""70""70""13] где [423e3c_41-46.jpg""15""15""15""15""15""17]- не равное тождественно нулю решение ур-ния
[423e3c_41-47.jpg""205""205""205""205""205""19](8)
Эта теорема имеет важное прикладное значение, т. к. она открывает известные возможности для фактич. нахождения векторов x(t) и u(t).
Развитие В. и. в 19 в. Осн. усилия математиков в 19 в. были направлены на исследование условий, необходимых или достаточных для того, чтобы функция x(t) реализовала экстремум функционала J(x). Ур-ние Эйлера было первым из таких условий; оно аналогично необходимому условию , к-рое устанавливается в теории [423e3c_41-48.jpg""42""42""42""42""42""27] функций конечного числа переменных. Однако в этой теории известны ещё и др. условия. Напр., для того, чтобы функция f(x) имела в точке
[423e3c_41-49.jpg""12""12""12""12""12""19]минимум, необходимо, чтобы в этой
точке было каков бы ни
был произвольный [423e3c_41-50.jpg""84""84""84""84""84""30] вектор h. Естественно поставить вопрос: в какой степени эти результаты переносятся на случай функционалов? Для того чтобы представить себе сложность, к-рая здесь возникает, заметим, что функция [423e3c_41-51.jpg""30""30""30""30""30""18] может реализовать минимум среди функций одного класса и не давать минимум среди функций другого класса и т. д. Подобные вопросы послужили источником разнообразных и глубоких исследований А. Лежандра, К. Якоби, М. В. Остроградского, У. Гамильтона, К. Вейерштрасса и мн. др. Эти исследования не только обогатили матем. анализ, но и сыграли большую роль в формировании идей аналитич. механики и ока-
зали серьёзное влияние на развитие разнообразных отделов теоретической физики.
Развитие В. и. в 20 в. В 20 в. возник целый ряд новых направлений В. и., связанных с интенсивным развитием техники, смежных вопросов математики и вычислит, техники. Одно из осн. направлений развития В. и. в 20 в.- рассмотрение неклассич. задач В. и., приведшее к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина.
Рассмотрим снова задачу Лагранжа: определить минимум функционала
[423e3c_41-52.jpg""187""187""187""187""187""30](9)
при условии [423e3c_41-53.jpg""79""79""79""79""79""16] фазовый вектор x(t) должен удовлетворять ещё нек-рым граничным условиям.
В своей классич. постановке условия задачи Лагранжа не предусматривают никаких ограничений на управление u(t). Выше (см. раздел Условный экстремум. Задача Лагранжа) подчёркивалась тесная связь между задачей Лагранжа и задачей управления. В рассмотренном там примере u(t) - тяга ракетного двигателя. Эта величина подчинена ограничениям: тяга двигателя не может превосходить нек-рой величины, и угол поворота вектора тяги также ограничен. В данном конкретном примере компонента ui (i=1,2,3) вектора тяги двигателя подчинена ограничениям
[423e3c_41-54.jpg""94""94""94""94""94""26](10)
где[423e3c_41-55.jpg""60""60""60""60""60""22] - нек-рые заданные числа. Подобных примеров можно привести много.
Т. о., в технике появилось много задач, к-рые сводятся к задаче Лагранжа, но при дополнит, ограничениях типа (10), записываемых в форме [423e3c_41-56.jpg""38""38""38""38""38""14] где Gu - нек-рое множество, к-рое, в частности, может быть замкнутым. Такие задачи получили назв. задач оптимального управления. В задаче Лагранжа можно исключить управление u(t) при помощи ур-ния (8) и получить систему ур-ний, к-рая содержит только фазовую переменную х и множитель Лагранжа[423e3c_41-57.jpg""14""14""14""14""14""13] Для теории оптимального управления должен был быть разработан спец. аппарат. Эти исследования привели к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина. Он может быть сформулирован в форме след, теоремы: для того чтобы функции[423e3c_41-58.jpg""69""69""69""69""69""17]были решением задачи оптимального управления [чтобы они доставляли минимум функционалу (9)], необходимо, чтобы u(t) доставляла максимум функции Гамильтона
[423e3c_41-59.jpg""140""140""140""140""140""28]
где [423e3c_41-60.jpg""15""15""15""15""15""16] - множитель Лагранжа (импульс), к-рый является ненулевым решением векторного уравнения
[423e3c_41-61.jpg""108""108""108""108""108""33]
Принцип максимума позволяет свести задачу оптимального управления к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных ур-ний порядка 2л (п - размерность фазового вектора). Принцип максимума и в этом случае даёт более сильный результат, чем теорема Лагранжа, поскольку он требует, чтобы [423e3c_41-62.jpg""17""17""17""17""17""18] было не стационарным значением
функции Гамильтона Н, а. доставляло максимум Н.
Возможен и другой подход к тем же проблемам теории оптимального управления. Пусть s (x, t) - значение функционала (9) вдоль оптимального решения. Тогда для того чтобы функция и (t) была оптимальным управлением, необходимо (а в нек-рых случаях и достаточно), чтобы функция s (x, t) удовлетворяла следующему дифференциальному ур-нию с частными производными:
[423e3c_41-63.jpg""276""276""276""276""276""38]
называемому уравнением Беллмана (см. Динамическое программирование).
Круг вопросов, которыми занимается В. и., непрерывно расширяется. В частности, всё большее и большее внимание уделяется изучению функционалов J(x) весьма общего вида, задаваемых на множествах Gх элементов из нормированных пространств. Для задач такого рода уже трудно использовать метод вариаций. Возникли новые методы, основанные на использовании понятия конуса в банаховых пространствах, опорных функционалов и т. д.
Уже в 19 в. была обнаружена глубокая связь между нек-рыми проблемами теории ур-ний с частными производными и вариац. задачами. П. Дирихле показал, что решение краевых задач для ур-ния Лапласа эквивалентно решению нек-рой вариац. задачи. Эта проблема привлекает к себе всё больше и больше внимания. Рассмотрим один пример.
Предположим, что имеется нек-рое линейное операторное ур-ние
[423e3c_41-64.jpg""58""58""58""58""58""15](И)
где [423e3c_41-65.jpg""43""43""43""43""43""16] - нек-рая функция двух независимых переменных, обращающаяся |
