БЭС:
Большой
Советский
Энциклопедический
Словарь
Термины:

БЕРНШТЕЙНИАНСТВО, одна из первых разновидностей ревизионизма.
БИОЛОГИЧЕСКИЕ СТАНЦИИ, научно-исследовательские учреждения.
БОРТОВАЯ РАДИОСИСТЕМА КОСМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ, комплекс радиотехнич. аппаратуры.
БУШПРИТ, бугшприт (англ, bowsprit.
ВОСТОЧНО-КАРПАТСКАЯ ОПЕРАЦИЯ 1944.
ВЫСШАЯ АТТЕСТАЦИОННАЯ КОМИССИЯ (ВАК), государственный орган.
ГАРАНТИИ ПРАВ ГРАЖДАН, условия и средства.
ГИПЕРБОЛОИДНАЯ ПЕРЕДАЧА, зубчатая передача для осуществления вращения.
ГОАЦИН (Opisthocomus hoatzin), птица, единственный вид.
ГИБРИДНАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА, аналого-цифровая вычислительная машина.

Главная страница
Поиск по сайту
Оглавление страниц
ГЕНЕТИЧЕСКИЙ КОД, система зашифровки наследственной информации в молекулах нуклеиновых кислот, реализующаяся у животных, растений, бактерий и вирусов в виде последовательности нуклеотидов. В природных нуклеиновых кислотах - дезоксирибонуклеиновой (ДНК) и рибонуклеиновой (РНК)-встречаются 5 распространённых типов нуклеотидов (по 4 в каждой нуклеиновой к-те).
Фирмы: адреса, телефоны и уставные фонды - справочник предприятий оао в экономике.
Большая Советская Энциклопедия - энциклопедический словарь:А-Б В-Г Д-Ж З-К К-Л М-Н О-П Р-С Т-Х Ц-Я

е, т. к. не имеют зацепок, скрепляющих бородки. Ноги очень сильные. Б. п. хорошо бегают. Большинство -обитатели открытых пространств. Зрение и слух острые. Выводковые птицы; живут обыкновенно парами; у нек-рых насиживает яйца и выводит птенцов самец. Питаются растит. и животной пищей (мелкими позвоночными и беспозвоночными), птенцы - исключительно животной пищей. Одни виды живут в пустынях и степях, другие - в лесах. Четыре отряда: страусы, нанду, казуары (два сем.- настоящие казуары и эму) и киви. Лит-: Руководство по зоологии, сост. Г. П. Дементьев, т. 6, М.-Л., 1940, с. 627-33.

БЕСКОНЕЧНАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ, см. в ст. Десятичная дробь.

БЕСКОНЕЧНАЯ ИНДУКЦИЯ, умозаключение, при к-ром из бесконечной совокупности посылок, исчерпывающих все частные случаи к.-л. общего суждения (высказывания), получается в качестве заключения (следствия) это общее суждение. Напр., из посылок 0+ 0= 0 + 0, 0 + 1 = 1+0, 0 + 2=2 + 0, 1 + 1=1 + 1, 0 + 3=3 + 0, 1+2=2 + 1, 0 + 4 = 4 + 0, 1+3=3 + 1, 2 + 2=2+2, 0 + 5=5 + 0, 1+4=4 + 1, 2 + 3=3 + 2, ... (где многоточие означает предположение, что суммы натуральных чисел, стоящих по обе стороны знаков равенства, пробегают последовательно все натуральные числа) по Б. и. получается заключение а + b = b + а, справедливое для любых натуральных значений а и b. Поскольку фактически "перечислить" бесконечное множество посылок невозможно, в каждом таком "применении" Б. и. имеется элемент идеализации (проявляющийся в приведённом выше примере как раз в допущении о законности замены многоточия, являющегося обозримой конечной знаковой конструкцией, на чисто мысленный, абстрактный образ совокупности "всех натуральных чисел"), и любые обороты типа "и т. д.", заменяющие при этом к.-л. бесконечную совокупность (не обязательно состоящую из натуральных чисел), носят неэффективный и метафорич. характер. В силу этой неэффективности

Б. и. она не может непосредственно использоваться ни в дедуктивных теориях математики и логики, ни в полуэмпирических построениях естеств. наук; в первых она часто заменяется различными формами принципа математической индукции, во вторых - т. н. естественнонаучной (неполной) индукцией. Однако как инструмент теоретич., методологич. исследования Б. и. (обычно в форме т. н. правила Карнапа - по имени предложившего его в 1934 австр. логика) нашла широкие и важные применения в математич. логике. Если же совокупность посылок Б. и. задаётся нек-рым алгоритмом, то её можно использовать в качестве спец. правила вывода.

Лит. см. при статьях Индукция, Математическая индукция. Ю. А. Гостев.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ в математике, переменная величина, к-рая в данном процессе изменения становится и остаётся по абс. величине больше любого наперёд заданного числа. Изучение Б. б. величин может быть сведено к изучению бесконечно малых, т. к. если у есть Б. б. величина, то обратная ей величина z = l/y является бесконечно малой. Тот факт, что переменная у является Б. б., записывают в виде lim y=БЕСКОНЕЧНОСТЬ. При этом символ БЕСКОНЕЧНОСТЬ ("бесконечность") является просто условным обозначением того, что у есть Б. б. величина. Возможна и др. точка зрения, в силу к-рой оо является несобственным элементом, присоединяемым к множеству действительных чисел (см. Бесконечность в математике). Применительно к функции аргумента х развёрнутое определение Б. б. звучит так: функция f(x), определённая в окрестности точки хо, наз. Б. б. при х, стремящемся к х0, если для любого числа N>0 найдётся такое число б>0, что для всех хне=х0и таких, что |х-x0|<8, выполняется неравенство |f(x)|>N. Это свойство записывается в виде limx->x0 f(x)=БЕСКОНЕЧНОСТЬ. С. Б. Стечкин.

БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ в математике, переменная величина, стремящаяся к пределу, равному нулю. Для того чтобы понятие Б. м. имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс изменения, при к-ром данная величина становится Б. м. Напр., величина y = 1/x является Б. м. при аргументе х, стремящемся к бесконечности, а при х, стремящемся к нулю, она оказывается бесконечно большой. Если предел переменной у конечен и равен а, то lim(y-а) = 0 и обратно. Поэтому понятие Б. м. величины можно положить в основу общего определения предела переменной величины. Теория Б. м. является одним из способов построения теории пределов.

При рассмотрении нескольких переменных величин, участвующих в одном и том же процессе изменения, переменные у и z наз. эквивалентными, если lim z/y= 1; если при этом у является Б. м., то у и z наз. эквивалентными Б. м. Переменная z наз. Б. м. относительно у, если z/y есть Б. м. Последний факт часто записывается в виде z =o(y) (читается: "z есть о малое от y"). Если при этом у является Б. м., то говорят, что z есть Б. м. более высокого порядка, чем у. Часто среди нескольких Б. м., участвующих в одном и том же процессе изменения, одна из них, скажем у, принимается за главную, и с ней сравниваются все остальные. Тогда говорят, что z есть Б. м. порядка k>0, если предел lim z/yk существует и отличен от нуля; если же этот предел равен нулю, то z наз. Б. м. порядка выше k. Изучение порядков различного рода Б. м.- одна из важных задач математич. анализа.

Для случая, когда переменная величина есть функция аргумента х, из общего определения предела вытекает такое развёрнутое определение Б. м.: функция f(x), определённая в окрестности точки х0, наз. Б. м. при х, стремящемся к х0, если для любого положительного числа е найдётся такое положительное число 5, что для всех xне=x0, удовлетворяющих условию |х-x0|<б, выполняется неравенство |f(х)lx0(х)=0. При изучении функции f (х) вблизи точки Ха за главную Б. м. принимают приращение независимого переменного Дx=x-х0. Формула Дy = f' (x0) Дx + о (Дx) выражает, напр., что приращение Дy дифференцируемой функции с точностью до Б. м. порядка выше первого совпадает с её дифференциалом dy = =f'(x0)Дх.

Метод Б. м., или (что то же) метод пределов, является в наст. время осн. методом обоснования математич. анализа, почему его и наз. также анализом Б. м. Он заменил исчерпывания метод древних и "неделимых" метод. Метод Б. м. был намечен И. Ньютоном (1666) и получил всеобщее признание после работ О. Коши. При помощи Б. м. даются определения таких основных понятий анализа, как сходящийся ряд, интеграл, производная, дифференциал. Кроме того, метод Б. м. служит одним из осн. методов приложения математики к задачам естествознания. Это связано с тем, что большинство закономерностей механики и классич. физики выражается в виде формул, связывающих Б. м. приращения изучаемых величин, и обращение к Б. м. является обычным приёмом составления дифференциальных уравнений задачи.

Лит. см. при ст. Анализ математический. С. Б. Стечкин.

БЕСКОНЕЧНО УДАЛЁННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ в математике, элементы (называемые точками, прямыми, плоскостями), к-рыми пополняется евклидова плоскость или евклидово пространство для интерпретации нек-рых разделов математики (проективная геометрия, теория функций комплексного переменного и др.).

Происхождение термина "Б. у. э." легче всего проследить на следующем примере. Рассмотрим в евклидовой плоскости а параллельные прямые a и а' (рис., 1) и

[0320-2.jpg]

прямую b, пересекающую их соответственно в точках М и М'. Будем поворачивать прямую b вокруг точки М' в направлении, указанном на рис. стрелкой, до совпадения с прямой а'. Очевидно, по мере приближения прямой b к а' точка М пересечения прямых а и b будет удаляться в бесконечность. Этот процесс достаточно отчётливо поясняет часто употребляемое выражение: ч параллельные прямые пересекаются в бесконечно удалённой точке".

Указанные наглядные соображения лежат в основе интерпретации двумерной проективной геометрии на евклидовой плоскости а. Для этой цели плоскость а пополняется бесконечно удалёнными точками и одной бесконечно удалённой прямой следующим образом. Уславливаются рассматривать параллельные прямые как пересекающиеся в бесконечно удалённой точке. Тогда прямая а', параллельная прямой а (рис., 2), пересекается с ней в нек-рой точке, но только эта точка не является обыкновенной, а представляет собой новый объект - бесконечно удалённую точку прямой а. Уславливаются, что все прямые, параллельные прямой а, имеют одну общую бесконечно удалённую точку А, а бесконечно удалённые точки непараллельных прямых считаются различными. Т. о., евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек. Совокупность всех этих бесконечно удалённых точек плоскости а называют бесконечно удалённой прямой.

Плоскость а, пополненная т. о. бесконечно удалёнными точками и бесконечно удалённой прямой, представляет собой т. н. проективную плоскость. Её свойства отличаются от свойств евклидовой плоскости (напр., на проективной плоскости пересекаются любые две прямые).

Евклидову плоскость можно пополнять Б. у. э. и др. способами. Так, при изображении комплексных чисел на евклидовой плоскости, последняя пополняется одной бесконечно удалённой точкой, к-рая отвечает одному бесконечно большому комплексному числу.

Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961. Э.Г.Позняк.

БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, произведение бесконечного числа сомножителей и1, u2, ..., un,..., т. е. выражение вида
[0320-3.jpg]

Б. п., в к-ром сомножителями являются числа, иногда наз. бесконечным числовым произведением. Б. п. не всегда может быть приписано числовое значение. Если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений рn= u1u2... иn
при n-> БЕСКОНЕЧНОСТЬ, то Б. п. наз. сходящимся, а lim рn=р - его значением, и пишут:
[0320-4.jpg]

Исторически Б. п. впервые встретились в связи с задачей о вычислении числа я. Так, франц. математик Ф. Виет (16 в.) получил формулу:
[0320-5.jpg]

а англ. математик Дж. Валлис (17 в.) -формулу:

[0320-6.jpg]

Особое значение Б. п. приобрели после работ Л. Эйлера, применившего Б. п. для изображения функций. Примером может служить разложение синуса:
[0320-7.jpg]

Разложения функции в Б. п. аналогичны разложениям многочленов на линейные множители; они замечательны тем, что выявляют все значения независимого переменного, при к-рых функция обращается в нуль.

Для сходимости Б. п. необходимо и достаточно, чтобы unне= 0 для всех номеров п, чтобы uN > 0, начиная с нек-рого номера N. и чтобы сходился ряд

[0320-8.jpg]

Т. о., исследование сходимости Б. п. эквивалентно исследованию сходимости этого ряда.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М.- Л., 1966; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, М., 1965.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ в философи и, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественная Б., выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный (всеобщий) характер связей явлений; количественная Б., выступающая как неограниченность процессов и явлений (см. Бесконечность в математике).

Проблема качеств. Б. обсуждалась уже в антич. философии, в частности в связи с космогонией и проблемами природы мышления. Но особое значение она приобрела в философии нового времени в связи с развитием естествознания и проблемами его логич. обоснования (Р. Декарт, Дж. Локк, Г. Лейбниц). Глубокий филос. анализ проблемы Б. дал Г. Гегель, различивший истинную (качественную) и "дурную" Б. как безграничное увеличение количества и связавший категорию Б. с характеристикой процессов развития. Эти идеи были материалистически переосмыслены марксизмом, подчеркнувшим диалектич. взаимосвязь Б. и конечного, противоречивую природу Б. Важное значение имело указание связи Б. с категорией всеобщего. Как писал Ф. Энгельс, "... форма всеобщности есть форма внутренней завершённости и тем самым бесконечности; она есть соединение многих конечных вещей в бесконечное" (М арке К. и Энгельс Ф.,Соч., 2 изд.,т. 20, с. 548-49).

Применительно к космологич. проблемам количеств. Б. рассматривается обычно как Б. материального мира в пространстве и времени.

Противоборствующими здесь являются, с одной стороны, религиозная и идеали-стич. точка зрения, толкующая Б. как Б. бога, его вневременность или как продукт сознания, а с др. стороны,- точка зрения материализма, рассматривающего Б. как одно из свойств пространства и времени и исследующего её в опоре на результаты математики и космологии. По данным совр. космологии, Вселенная (материальный мир, рассматриваемый лишь в аспекте пространственно-временного распределения масс) бесконечна в пространстве и времени, а её пространственные и врем, характеристики по отдельности могут быть и конечными, и бесконечными, в зависимости от выбора системы отсчёта.

В физике Б. рассматривается как Б. "вглубь" в связи с проблемой структуры элементарных частиц.

Лит.: Философия естествознания, в. 1, М., 1966, с. 28, 191-207; Н аан Г. И., Понятие бесконечности в математике, физике и астрономии, М., 1965; его же, Типы бесконечного, в кн.: Эйнштейновский сборник 1967, М., 1967; ЗельмановА. Л., О бесконечности материального мира, в кн.: Диалектика в науках о неживой природе, М., 1964. И. С. Алексеев.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ в математике. "Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции" (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1966, с. 396). Материальная основа математич. бесконечного может быть понята только при условии, что оно рассматривается в диалектич. единстве с конечным. Каждая математич. теория связана обязательным для неё требованием внутренней формальной непротиворечивости. Поэтому возникает вопрос о том, как соединить это требование с существенно противоречивым характером действительности Б. "Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности" (там же, с. 47). Ответ на этот вопрос заключается в следующем. Когда в теории пределов рассматриваются бесконечные пределы lim аn=БЕСКОНЕЧНОСТЬ, или в теории множеств -бесконечные мощности, то это не приводит к внутренним формальным противоречиям в указанных теориях лишь потому, что эти различные спец. виды математич. Б. являются лишь крайне упрощёнными, схематизированными образами различных сторон Б. действит. мира. Задачи настоящей статьи ограничиваются указанием на различные подходы к Б. в математике, освещаемые подробнее в других статьях.

1) Представление о бесконечно малых и бесконечно больших переменных величинах является одним из основных в математич. анализе. Предшествовавшая совр. подходу к понятию бесконечно малой концепция, по к-рой конечные величины составлялись из бесконечно большого числа бесконечно малых "неделимых" (см. "Неделимых"- метод), трактовавшихся не как переменные, а как постоянные и меньшие любой конечной величины, может служить одним из примеров незаконного отрыва бесконечного от конечного: реальный смысл имеет только разложение конечных величин на неограниченно возрастающее число неограниченно убывающих слагаемых.

2) Совсем в другой логич. обстановке Б. появляется в математике в виде "несобственных" бесконечно удалённых геометрич. образов (см. Бесконечно удалённые элементы). Здесь, напр., бесконечно удалённая точка на прямой а рассматривается как особый постоянный объект, "присоединённый" к обычным конечным точкам. Однако неразрывная связь бесконечного с конечным обнаруживается и здесь, хотя бы при проектировании из центра, лежащего вне прямой, при к-ром бесконечно удалённой точке оказывается соответствующей прямая, проходящая через центр проектирования и параллельная осн. прямой а.

Аналогичный характер имеет пополнение системы действит. чисел двумя "несобственными" числами + БЕСКОНЕЧНОСТЬ и -БЕСКОНЕЧНОСТЬ, соответствующее многим запросам анализа и теории функций действит. переменного. Можно подойти с такой же точки зрения и к пополнению ряда натуральных чисел 1, 2, 3, ..., трансфинитными числами w, w + 1, ..., 2w, 2w + 1, .... В связи с различием между переменными бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, с одной стороны, и -"несобственными" бесконечно большими числами, рассматриваемыми как постоянные,- с другой, возникли термины "потенциальная" Б. (для первых) и "актуальная" Б. (для вторых). В этом первоначальном понимании (о другом, совр. понимании, см. ниже) спор между сторонниками актуальной и потенциальной Б. можно считать законченным. Бесконечно малые и бесконечно большие, лежащие в основе определения производной (как отношения бесконечно малых) и интеграла (как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых) и примыкающих сюда концепций математич. анализа, должны восприниматься как "потенциальные". Наряду с этим в надлежащей логич. обстановке в математику вполне закономерно входят и "актуальные" бесконечно большие "несобственные" числа (и даже во многих различных аспектах: как количественные и порядковые трансфинитные числа в теории множеств, как несобственные элементы -(-БЕСКОНЕЧНОСТЬ и - БЕСКОНЕЧНОСТЬ системы действит. чисел и т. д.).

В математике приходится иметь дело с двумя способами присоединения к числовой системе бесконечных "несобственных" элементов.

а) С проективной точки зрения на прямой находится одна "бесконечно удалённая точка". В обычной метрич. системе координат этой точке естественно приписать абсциссу БЕСКОНЕЧНОСТЬ. Такое же присоединение к числовой системе одной Б. без знака употребляется в теории функций комплексного переменного. В элементарном анализе при изучении рациональ-
[0320-9.jpg]

Q(x) - многочлены, в тех точках, где Q(x) имеет нуль более высокого порядка, чем Р(х), естественно положить f(x)=БЕСКОНЕЧНОСТЬ. Для несобственного элемента БЕСКОНЕЧНОСТЬ устанавливаются такие правила действий:
[0320-10.jpg]

Неравенства с участием БЕСКОНЕЧНОСТЬ не рассматриваются: бессмысленно спрашивать, больше или меньше БЕСКОНЕЧНОСТЬ, чем конечное а. 6) При изучении действит. функций действит. переменного систему действит. чисел дополняют двумя несобственными элементами + БЕСКОНЕЧНОСТЬ и - БЕСКОНЕЧНОСТЬ. Тогда можно положить, что -БЕСКОНЕЧНОСТЬ<а< + БЕСКОНЕЧНОСТЬ для любого конечного а, и сохранить осн. свойства неравенств в расширенной числовой системе. Для + оо и - БЕСКОНЕЧНОСТЬ устанав