| 602 и 1/603), применявшихся при делении.
У древних греков практич. сторона А. не получила дальнейшего развития; применявшаяся ими система письменной нумерации с помощью букв алфавита была значительно менее приспособлена для производства сложных вычислений, нежели вавилонская (показательно, в частности, что древнегреч. астрономы предпочитали пользоваться шестидесятиричной системой). С другой стороны, др.-греч. математики положили начало теоретич. разработке А. в части, касавшейся учения о натуральных числах, теории пропорций,измерения величин и - в неявной форме- также и теории иррациональных чисел. В "Началах" Евклида (3 в. до н. э.) имеются сохранившие своё значение и до сих пор доказательство бесконечности числа простых чисел, основные теоремы о делимости, алгоритмы для нахождения общей меры двух отрезков и общего наибольшего делителя двух чисел (см. Евклида алгоритм), доказательство несуществования рационального числа, квадрат к-рого равен 2 (иррациональность числа 21/2 ), и изложенная в геом. форме теория пропорций. К рассматривавшимся теоретико-числовым задачам относятся задачи о совершенных числах (Евклид), о пифагоровых числах, а также - уже в более позднюю эпоху - алгоритм для выделения простых чисел (Эратосфена решето) и решение ряда неопределённых ур-ний 2-й и более высоких степеней (Диофант).
Существенную роль в образовании понятия бесконечного натурального ряда чисел сыграл "Псаммит" Архимеда (3 в. до н. э.), в к-ром доказывается возможность именовать и обозначать сколь угодно большие числа. Соч. Архимеда свидетельствуют о довольно высоком искусстве в получении приближённых значений искомых величин: извлечение корня из многозначных чисел, нахождение рациональных приближений для иррациональных чисел, напр.
Римляне не продвинули вперёд технику вычислений, оставив, однако, дошедшую до нашего времени систему нумерации (римские цифры), мало приспособленную для производства действий и применяемую в настоящее время почти исключительно для обозначения порядковых чисел.
Трудно проследить преемственность в развитии математики в отношении предыдущих, более древних, культур; однако чрезвычайно важные этапы в развитии А. связываются с культурой Индии, оказавшей влияние как на страны Передней Азии и Европы, так и на страны Вост. Азии (Китай, Япония). Помимо применения алгебры к решению задач арифметич. содержания, наиболее существенная заслуга индийцев - введение позиционной системы счисления (с применением десяти цифр, включая нуль для обозначения отсутствия единиц в каком-либо из разрядов), сделавшей возможной разработку сравнительно простых правил выполнения основных арифметич. действий.
Учёные средневекового Востока не только сохранили в переводах наследие др.-греч. математиков, но и содействовали распространению и дальнейшему развитию достижений индийцев. Методы выполнения арифметич. действий, в значит. части ещё далёкие от современных, но уже использующие преимущества позиционной системы счисления, с 10 в. н. э. стали постепенно проникать в Европу, раньше всего в Италию и Испанию.
Сравнительно медленный прогресс А. в ср. века сменяется к нач. 17 в. быстрым усовершенствованием приёмов вычисления в связи с возросшими практич. запросами к технике вычислений (задачи мореходной астрономии, механики, усложнившиеся коммерческие расчёты и т. п.). Дроби со знаменателем 10, употреблявшиеся ещё индийцами (при извлечении квадратных корней) и неоднократно обращавшие на себя внимание и европ. учёных, применялись сначала в неявной форме в тригонометрич. таблицах (в форме целых чисел, выражающих длины линий синуса, тангенса и т. д. при радиусе, принятом за 105). Впервые (1427) подробно описал систему десятичных дробей и правила действий над ними аль-Каши. Запись десятичных дробей, по существу совпадающая с современной, встречается в соч. С. Стевина в 1585 и с этого времени получает повсеместное распространение. К той же эпохе относится изобретение логарифмов в нач. 17 в. Дж. Непером. В начале 18 в. приёмы выполнения и записи вычислений приобретают совр. форму.
В России до нач. 17 в. применялась нумерация, сходная с греческой; хорошо и своеобразно была разработана система устной нумерации, доходившая до 50-го разряда. Из русских арифметич. руководств нач. 18 в. наибольшее значение имела высоко оценённая М. В. Ломоносовым "Арифметика" Л. Ф. Магницкого (1703). В ней содержится следующее определение А.: "Арифметика или числительница, есть художество честное, независтное, и всем удобопонятное, многополезнейшее, и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков, изобретенное, и изложенное ". Наряду с вопросами нумерации, изложением техники вычисления с целыми числами и дробями (в т. ч. и десятичными) и соответствующими задачами в этом руководстве содержатся и элементы алгебры, геометрии и тригонометрии, а также ряд практич. сведений, относящихся к коммерческим расчётам и задачам навигации. Изложение А. приобретает уже более или менее современный вид у Л. Эйлера и его учеников.
Теоретические вопросы арифметики. Теоретическая разработка вопросов, касающихся учения о числе и учения об измерении величин, не может быть оторвана от развития математики в целом: решающие этапы её связаны с моментами, определявшими в равной мере и развитие алгебры, геометрии и анализа. Наиболее важным надо считать создание общего учения о величинах, соответствующего абстрактного учения о числе (целом, рациональном и иррациональном) и буквенного аппарата алгебры.
Фундаментальное значение А. как науки, достаточной для изучения непрерывных величин различного рода, было осознано лишь к концу 17 в. в связи со включением в А. понятия иррационального числа, определяемого последовательностью рациональных приближений. Немаловажную роль при этом сыграли аппарат десятичных дробей и применение логарифмов, расширивших область осуществляемых с требуемой точностью операций над действит. числами (иррациональными наравне с рациональными).
И. Ньютон, впервые высказавший общее определение числа как отношения двух значений к.-л. величины, всё ещё избегал, однако, записывать найденные им законы в виде формул, выражающих значение одной из величин через значения других, неоднородных с ней, и предпочитал придавать такого рода соотношениям форму пропорций (напр., y1/у2 = x2/x2 вместо соответствующей формулы у = kx2). Современная точка зрения,согласно к-рой все буквы в формулах означают просто числа и действия производятся над числами, равноправными между собой, независимо от их конкретного происхождения, ещё и сейчас в элементарном преподавании иногда осознаётся не в достаточной степени (это сказывается в наименованиях при записи действий, в избыточной осторожности при определении производных физ. величин и т. п.).
Аксиоматическое построение арифметики. Начало следующего этапа - аксио-матич. построение А.- относится уже к 19 в. и связано с общим процессом кри-тич. пересмотра логич. основ математики, в к-ром важнейшую роль сыграли, в частности, работы Н. И. Лобачевского по геометрии. Самая простота и очевидная бесспорность начальных положений А. затрудняли выделение основных положений - аксиом и определений, к-рые могли бы служить исходным пунктом построения теории. Первые намёки на возможность такого построения имеются уже в доказательстве соотношения 2*2 = 4, данном Г. Лейбницем (см. ниже).
Лишь в сер. 19 в. Г. Грасману удалось выбрать систему основных аксиом, определяющих действия сложения и умножения так, чтобы остальные положения А. вытекали из неё как логич. следствие. Если иметь в виду натуральный ряд чисел, начиная от I, и определить 2 как 1 + 1, 3 как 2 + 1, 4 как 3+1 и т. д., то одного общего положения а + (b+1) = = (а + b) + 1, принимаемого в качестве аксиомы или определения сложения, оказывается достаточно для того, чтобы не только вывести формулы частного типа, как, напр., 3+2 = 5, но, пользуясь методом математической индукции, доказать и общие свойства сложения, верные для любых натуральных чисел, - переместительный и сочетательный законы. Подобную же роль для умножения играют формулы а*1 = а и а (b + 1) = = ab + а. Так, упомянутое выше доказательство соотношения 2*2 = 4 можно представить в виде цепочки равенств, вытекающей из приведённых здесь формул и определения чисел 2, 3 и 4, именно: 2* 2 = 2 (1+1) =2* 1 + 2*1=2+2 = = 2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1= 3 + 1= 4.
После доказательства переместительно-го (см. Коммутативность), сочетательного (см. Ассоциативность) и распределительного (см. Дистрибутивность) (по отношению к сложению) законов действия умножения дальнейшее построение теории арифметич. действий над натуральными числами не представляет уже принципиальных затруднений. Если оставаться на том же уровне абстракции, то дробные числа приходится вводить как пары целых чисел (числитель и знаменатель), подчинённые определённым законам сравнения и действии (см. Дробь),
Построение Грасмана было завершено в дальнейшем работами Дж. Пеано, в к-рых отчётливо выделена система основных (не определяемых через другие понятия) понятий, именно: понятие натурального числа, понятие следования одного числа непосредственно за другим в натуральном ряде и понятие начального члена натурального ряда (за к-рый можно принять О или 1). Эти понятия связаны между собой пятью аксиомами, к-рые можно рассматривать как аксиоматич. определение указанных основных понятий.
Аксиомы Пеано: 1)1 есть натуральное число; 2) следующее за натуральным числом есть натуральное число; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом; 4) если натуральное число а следует за натуральным числом b и за натуральным числом с, то b и с тождественны; 5) если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа я, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел. Эта аксиома - аксиома полной индукции - даёт возможность в дальнейшем пользоваться грас-мановскими определениями действий и доказывать общие свойства натуральных чисел.
Эти построения, дающие решение задачи обоснования формальных положений А., оставляют в стороне вопрос о логич. структуре А. натуральных чисел в более широком смысле слова, с включением тех операций, к-рые определяют собой приложения А. как в рамках самой математики, так и в „практич. жизни. Анализ этой стороны вопроса, выяснив содержание понятия количественного числа, вместе с тем показал, что вопрос об обосновании А. тесно связан с более общими принципиальными проблемами мето-дологич. анализа матем. дисциплин. Если простейшие предложения А., относящиеся к элементарному счёту объектов и являющиеся обобщением многовекового опыта человечества, естественно укладываются в простейшие логич. схемы, то А. как матем. дисциплина, изучающая бесконечную совокупность натуральных чисел, требует исследования непротиворечивости соответствующей системы аксиом и более детального анализа смысла вытекающих из неё общих предложений.
Лит.: Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем., З изд., т. 1.М. -Л., 1935; Арнольд И. В., Теоретическая арифметика, 2 изд., М., 1939; Беллюстин В. К., Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, М., 1940; Гребенча М. К., Арифметика, 2 изд., М., 1952; Берман Г. Н., Число и наука о нем, 3 изд., М., 1960; Депман И. Я., История арифметики, 2 изд., М., 1965; Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в Древнем мире, 2 изд., М., 1967. И. В. Арнольд.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ, последовательность чисел (а1, а2, ..., аn ), из к-рых каждое следующее получается из предыдущего прибавлением постоянного числа d, наз. разностью А. п. (напр., 2, 5, 8, 11, ... ; d = 3). Если d>0, то А. п. наз. возрастающей, если d<0,- убывающей. Общий член А. п. выражается формулой аn = а1 + d (n - 1); сумма первых n членов Sn=1/2(a1 + an)n.
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК, треугольник Паскаля, треугольная числовая таблица для составления биномиальных коэффициентов (см. Ньютона бином). По бокам А. т. стоят единицы, внутри - суммы двух верхних чисел.
В (n + 1)-й строке А. т.- биномиальные коэффициенты для разложения бинома (а + b)n. А. т. приведён в книге Б. Паскаля "Трактат об арифметическом треугольнике" (1665).
Лит.: Успенский В. А., Треугольник Паскаля, М., 1966.
АРИФМЕТИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ, число (а), получаемое делением суммы не-скольких чисел (а1, а2, ..., аn) на их число (n): а = (а1 + а2 +... + аn)/n. Напр., А. с. чисел 3, 5,7 равно (3 + 5+7)/3 =5.
АРИФМЕТИЧЕСКОЕ УСТРОЙСТВО (АУ), одно из основных устройств электронной цифровой вычислительной машины (ЦВМ), в к-ром непосредственно выполняются арифметич. и логич. операции над числами. Выполнение любой арифметич. или логич. операции в АУ сводится по существу к последовательному выполнению ряда элементарных операций или микроопераций: установка в "нуль" любых разрядов блоков АУ, приём кода числа или отдельного разряда, выдача кода, получение инверсной (обратной) величины кода числа, сложение кодов,сдвиг кода в сторону младших или старших разрядов числа и т. д.
К арифметич. операциям относятся сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня. Последние два действия, а также возведение в степень, определение логарифмов, тригонометрич. функций и т. п. часто выполняются по стандартным подпрограммам. Осн. операция ЦВМ - сложение, к к-рому сводятся все арифметич. операции. Напр., вычитание числа В из числа А заменяется сложением с помощью соотношения А - В = А + (-В), в к-ром оба числа могут быть представлены прямым, обратным или дополнительным кодом (см. Код в вычислительной технике); умножение сводится к многократному суммированию множимого; деление - к последовательному нахождению цифр частного с помощью сложения и вычитания.
АУ в составе ЦВМ связано с запоминающим устройством (ЗУ) и центральным устройством управления (см. Управляющее устройство). Из ЗУ поступают исходные числа, по команде центрального устройства управления ("сложить", "вычесть", "умножить" и т. д.) АУ производит соответствующие операции, результаты операций передаются снова в ЗУ, а сигналы окончания операции, признаки переполнения разрядной сетки и др., при необходимости,- в центр. устройство управления.
Осн. характеристики и состав АУ зависят от принятой системы счисления, разрядности чисел, требуемого быстродействия, алгоритмов выполнения операций и их ускорения, формы представления чисел и типа применяемых схем и связей между ними (потенциальные, импульсные или импульсно-потенциальные).
АУ обычно состоит из нескольких регистров для кратковременного хранения чисел, сумматоров, логич. цепей для выполнения элементарных операций над числами и местного устройства управления, воспринимающего команду на выполнение операции от центр. устройства управления машины и отрабатывающего необходимую последовательность частных команд.
В зависимости от применяемого способа суммирования чисел различают АУ последовательного, параллельного и последовательно-параллельного действия. В АУ последовательного действия суммирование двух чисел выполняется одноразрядным сумматором, через к-рый последовательно, начиная от младших, проходят все разряды слагаемых. В АУ параллельного действия все разряды каждого из слагаемых передаются в сумматор одновременно, количество разрядов сумматора соответствует количеству разрядов в слагаемых. АУ последовательно-параллельного действия - промежуточная форма. Регистры параллельного АУ строятся из триггеров или аналогичных элементов и обеспечивают одновременный доступ ко всем разрядам числа. В АУ последовательного действия в качестве регистров используются также линии задержки, к-рые, если необходимо, замыкаются в кольцо через усилители и логич. цепи рециркуляции. В элементах и схемах АУ используются электронные лампы (в ранних образцах), транзисторы, полупроводниковые диоды, ферриттранзисторные ячейки и ферритдиодные ячейки. В АУ с микропрограммным управлением в составе местного устройства управления применяют также ферритовые матрицы для хранения микропрограмм операций.
Общие требования к элементам схем АУ - высокая надёжность, взаимозаменяемость однотипных элементов, технологичность, повторяемость основных характеристик в произ-ве. В зависимости от способа кодирования чисел АУ строятся для операций в двоичной или десятичной, реже - в троичной или какой-либо другой системе счисления, с различным количеством разрядов, с числами, представленными с фиксированной или с плавающей запятой, или с теми и с другими.
Методы ускорения выполнения операций применяются либо к элементарным операциям (частям полных), либо к полным операциям АУ. Особенно эффективно ускорение элементарной операции суммирования, поскольку она входит существенной частью в алгебраич. сложение-вычитание, умножение, деление и др. В последовательных АУ ускорение суммирования достигается переходом к последовательно-параллельным схемам; в параллельных - применением схем, использующих статистич. характер переносов, схем "с мгновенным переносом" и т. д. Наиболее разработаны методы ускорения умножения. В последовательных устройствах они основаны большей частью на введении дополнит. сумматоров, позволяющих одновременно суммировать несколько частичных произведений; в пределе наличие п сумматоров последовательного типа (или п/2 сумматоров и логич. схем) даёт возможность выполнить умножение за 2 п тактов. В параллельных АУ применяются методы ускорения умножения логич. и аппаратные 1-го и 2-го порядка. Логич. методы основываются на преобразовании множителя; увеличение аппаратуры при их использовании касается только местного устройства управления и не зависит от количества разрядов в перемножаемых числах; теоретич. и прак-тич. предел возможностей логич. методов - уменьшение среднего количества суммирований при выполнении одного умножения до 1/3 на каждый двоичный разряд множителя. Аппаратные методы 1-го порядка основываются на введении дополнит. сумматоров, дополнит. цепей запоминания переносов или замене цепей сдвига цепями умножения и деления на особые множители; количество дополнит. оборудования пропорционально количеству разрядов; количество тактов суммирования в процессе умножения теоретически может быть уменьшено до одного (независимо от количества разрядов множителя), |
