| функция, отличная от тождественного нуля, может иметь в области лишь изолированные нули.
Если Е - произвольное множество (в комплексной плоскости и, в частности, на действительной прямой), то функция наз. аналитической на множестве Е, если каждая точка этого множества имеет окрестность, на пересечении к-рой с множеством Е функция f представляется сходящимся степенным рядом; это означает в действительности, что f ана-литична на нек-ром открытом множестве, содержащем Е (точнее, существует открытое множество, содержащее Е, и аналитическая на нём функция f, совпадающая с f на множестве Е). Для открытых множеств понятие аналитичности совпадает с понятием дифференцируемости по множеству (моногенности). Однако в общем случае это не так; в частности, на действительной прямой существуют функции, не только имеющие производную, но и бесконечно дифференцируемые в каждой точке, к-рые не являются аналитическими ни в одной точке этой прямой С другой стороны, для справедливости теоремы единственности А, ф, существенно свойство связности множества Е. Поэтому А. ф. рассматриваются обычно в областях, т. е. на открытых и связных множествах.
Важную роль в изучении А. ф. играют точки, в к-рых нарушается свойство аналитичности - т. н. особые точки А. ф. Рассмотрим здесь изолированные особые точки (однозначных) А. ф. Пусть f - А. ф. в области вида ; в этой области f разлагается вряд Лорана:
содержащий, вообще говоря, не только положительные, но и отрицательные степени Если в этом разложении члены с отрицательными степенями отсутствуют (an = 0 для n= -1, -2,...), то z0 наз. правильной точкой f. В правильной точке существует и конечен полагая f(zo) = а0, получают функцию, аналитическую во всём круге Если ряд Лорана функции f содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями г - Zo'.
то точка ZD наз. полюсом функции f (порядка д); полюс 2о характеризуется тем, что . В случае, если ряд Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней z - z0, то z0 наз. существенно особой точкой; в таких точках не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции f. Если z0 - изолированная особая точка функции f, то коэффициент a-1 в её разложении в ряд Лорана наз. вычето.м функции f в точке z0.
Функции, представимые в виде отношения двух функций, аналитических в области D, наз. мероморфными в области D. Мероморфная в области функция аналитична в этой области за исключением, быть может, конечного или счётного множества полюсов; в полюсах значения мероморфной функции считаются равными бесконечности. Если допустить такие значения, то мероморфные в области D функции могут быть определены как функции, к-рые в окрестности каждой точки 2„ области D представимы рядом по степеням z - z0, содержащим конечное (зависящее от z0) число членов с отрицательными степенями z - z0.
Часто аналитическими в области D наз. как аналитические (голоморфные), так и мероморфные в этой области функции. В этом случае голоморфные функции наз. также регулярными аналитическими или просто регулярными. Простейший класс А. ф. составляют функции, аналитические во всей плоскости; такие функции наз. целыми. Целые функции представляются рядами вида
сходящимися во всей комплексной плоскости. К ним относятся многочлены от z, функции
Функции, мероморфные во всей плоскости (т. е. представимые в виде отношения целых функций), наз. мероморфными функциями. Таковыми являются рациональные функции от z (отношения многочленов), , , эллиптические функции и т. д.
Для изучения А. ф. важное значение имеют связанные с ними геом. представления. Функцию , можно рассматривать как отображение области D в плоскость переменного Если f есть А. ф., то образ f(D) области D также является областью (принцип сохранения облает и). Из условия комплексной дифференцируемости функции f в точке следует, что при соответствующее отображение сохраняет углы в z0, как по абсолютному значению, так и по знаку, т. е. является конформным. Т.о., существует тесная связь между аналитичностью и важным геом. понятием конформного отображения. Если f аналитична в D и при (такие функции наз. однолистным и), то в D н f определяет взаимно однозначное и конформное отображение области D на область Теорема Римана - основная теорема теории конформных отображений - утверждает, что в любой односьязной области, граница к-рой содержит более одной точки, существуют однолистные А. ф., конформно отображающие эту область на круг или полуплоскость.
Дифференцируя ур-ния Коши - Римана, нетрудно усмотреть, что действительная и мнимая части функции аналитич. в области D, удовлетворяют в этой области ур-нию Лапласа;
т. е. являются гармоническими функциями. Две гармонич. функции, связанные между собой ур-ниями Коши - Римана, наз. сопряжёнными. В односвязной области D любая гармонич. функция ф имеет сопряжённую функцию и является, тем самым, действительной частью нек-рой аналитической в D функции f. Связи с конформными отображениями и гармонич. функциями лежат в основе многих приложений теории А. ф.
Всё сказанное выше относилось кодно-значным А. ф. f, рассматриваемым в данной области D комплексной плоскости. Задаваясь вопросом о возможности продолжения функции f как А. ф. в большую область, приходят к понятию А. ф., рассматриваемой в целом - во всей своей естественной области существования. При таком продолжении данной функции область её аналитичности, расширяясь, может налегать сама на себя, доставляя новые значения функции в точках плоскости, где она уже была определена. Поэтому А. ф., рассматриваемая в целом, вообще говоря, оказывается многозначной. К необходимости изучения многозначных А. ф. приводят многие вопросы теории функций (обращение функций, нахождение первообразных и построение А. ф. с заданной действительной частью - в многосвязных областях, решение алгебр, ур-ний с аналитич. коэфф. и др.);
такими функциями являются Arcsin г и Arctg z, алгебр, функции и т. д. Регулярный процесс, приводящий к полной А. ф., рассматриваемой в своей естественной области существования, был указан К. Вейерштрассом; он носит название аналитического продолжения по Вейерштрассу.
Исходным является понятие элемента А. ф.- степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости. Такой элемент W0-a0 + а1 (z - z0) + а3(z - z0)2 + ... + + an(z - z0)n + ... определяет некоторую А. ф. f в своём круге сходимости Кс. Пусть z1, - точка круга К0, отличная от z0. Разлагая Функцию f в ряд Тейлора с центром в точке z1, получают новый элемент W1:
которого обозначают через /С,. В общей части кругов K0 и K1 ряд W1 сходится к той же функции, что и ряд W0. Если круг K1 выходит за пределы круга K0, то ряд W1 определяет функцию, заданную посредством W0, на нек-ром множестве вне Ко (где ряд W0 расходится). В этом случае элемент W1 наз. непосредственным аналитич. продолжением элемента Wo. Пусть Wo, W1 .... WN - цепочка элементов такая, что
является непосредственным аналитич. продолжением тогда
элемент WN наз. аналитич. продолжением элемента W0 (посредством данной цепочки элементов). Может оказаться так, что центр круга KN принадлежит кругу К0, но элемент WN не является непосредственным аналитич. продолжением элемента Wo В этом случае суммы рядов W0 и WN в общей части кругов К0 и КN имеют раз-личные значения; тем самым аналитич. продолжение может привести к новым значениям функции в круге К0.
Совокупность всех элементов, к-рые могут быть получены аналитич. продолжением элемента Wo. образует полную А. ф. (в смысле Вейерштрасса), порождённую элементом W0; объединение их кругов сходимости представляет собой (вейерштрассо-ву) область существования этой функции. Из теоремы единственности А. ф. следует, что А. ф, в смысле Вейерштрасса полностью определяется заданием элемента Wo- При этом в качестве исходного может быть взят любой др. элемент, принадлежащий этой функции; полная А. ф. от этого не изменится.
Полная А. ф. f, рассматриваемая как функция точек плоскости, принадлежащих её области существования D, вообще говоря, является многозначной. Чтобы избавиться от многозначности, функцию f рассматривают не как функцию точек плоской области D, а как функцию точек нек-рой (лежащей над областью D)) многолистной поверхности R такой, что каждой точке области D соответствует столько (проектирующихся в неё) точек поверхности R, сколько различных значений принимает функция f в этой точке; на поверхности R функция f становится однозначной функцией. Идея перехода к таким поверхностям - одна из наиболее замечательных и плодотворных математич. идей - принадлежит Б. Рима-ну, а сами они носят назв. римановых поверхностей. Схематич. изображения римановых поверхностей функций
и приведены на рис. 1 и 2 (соответственно). Абстрактное определение понятия римановой поверхности позволило заменить теорию многозначных А. ф. теорией однозначных А. ф. на риманоаых поверхностях.
Фиксируем область , принадлежащую области существования D полной А. ф. f, и какой-либо элемент W функции f с центром в точке области . Совокупность всех элементов, к-рые могут быть получены ана-литич. продолжением элемента W посредством цепочек, центры к-рых принадлежат Д, наз. ветвью А. ф. f. Ветвь многозначной А. ф. может оказаться однозначной А. ф. в области . Так, напр., произвольные
ветви функций и , соответствующие любой односвязной области, не содержащей точку О, являются однозначными функциями; при этомимеет ровно п, a Lnz - бесконечное множество различных ветвей в каждой такой области. Выделение однозначных ветвей (с помощью тех или иных разрезов области существования) и их изучение средствами теории однозначных А. ф. являются одним из основных приёмов исследования конкретных многозначных А. ф.
Понятие А. ф. нескольких переменных вводится с помощью кратных степенных рядов - совершенно аналогично тому, как это было сделано выше для А. ф. одного переменного. А. ф. нескольких комплексных переменных по своим свойствам также во многом аналогичны А. ф. одного комплексного переменного; однако они обладают и рядом принципиально новых свойств, не имеющих аналогов в теории А. ф. одного переменного. Более общим является понятие А. ф. на комплексных многообразиях (понятие комплексного многообразия является обобщением понятия римановой поверхности для многомерного случая).
Лит.: Привалов И, И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд., М., 1967; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М.- Л., 1969; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1-2, М., 1967-68; Лаврентьев М.А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965; Голузин Г. М., Геометриче-
ская теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; Евграфов М. А., Аналитические функции, 2 изд., М., 1968; Свешников А. Г., Тихонов А. Н., Теория функций комплексной переменной, М., 1967; Фукс Б. А., Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 2 изд., М., 1963; Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; Маркушевич А. И., Очерки по истории теории аналитических функций, М.- Л., 1951; Математика в СССР за тридцать лет, 1917 - 1947, М.- Л., 1948, с. 319 - 414; Математика в СССР за сорок лет, 1917 - 1957, т. 1, М., 1959, с. 381 - 510. А. А. Гончар.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ЯЗЫКИ, тип языков,в к-рых грамматич. отношения выражаются служебными словами, порядком слов, интонацией и т. п., а не словоизменением, т. е. не грамматич. чередованием морф в пределах словоформы, как в синтетич. языках. К А. я. относятся англ., франц., новоперс., болг. языки. Однако практически не существует ни чисто А. я., ни чисто синтетических (см. Синтетические языки). В А. я. чередование морф в пределах словоформы сохраняется в системе спряжения и частично склонения. Напр., во франц. языке je parle - "я говорю", но nous parlons - "мы говорим", в англ, языке I work - "я работаю", но I worked - "я работал". В син-тетич. языках распространены и анали-тич. конструкции. В процессе ист. развития языков в А. я. образуются новые флективные формы, а в синтетич. языках флективные формы вытесняются аналитич. конструкциями. Деление языков на аналитич. и синтетич. основывается на той или иной преобладающей языковой тенденции, характерной для морфо-логич. структуры словоформы.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ УЧЁТ, система бухгалтерских записей, дающая детальные сведения о движении хоз. средств; предназначается для оперативного руководства х-вом и составления отчётности; строится по каждому синтетич. счёту в отдельности. Наиболее укрупнённые и общие для всех предприятий отрасли позиции А. у. предусматриваются в плане счетов и называются субсчетами. В отличие от синтетического учёта, А. у. ведётся не только в стоимостных, но и в натуральных показателях, а также содержит справочные данные. По синтетич. счетам с наиболее расчленённой системой записей для А. у. применяют отдельные учётные регистры (картотеки, ведомости и др.)-для пообъектного учёта осн. средств по видам их и местам нахождения, складского количественно-сортового учёта материалов и готовой продукции, для лицевых счетов расчётов с рабочими и служащими по заработной плате, для учёта затрат в разрезе аналитич. позиций калькуляционных счетов производства - по видам продукции, стадиям обработки, статьям калькуляции и т. п. Записи А. у. по таким счетам сверяют с записями синтетич. учёта посредством сальдовых либо оборотных ведомостей, итоги к-рых должны быть тождественны итогам записей в соответствующем синтетич. счёте. При менее разветвлённой номенклатуре аналитич. позиций - по фондовым, собирательно-распределит. счетам, большинству расчётных счетов - записи А. у. совмещают в общих регистрах с записями синтетич. учёта (накопительных ведомостях, журналах-ордерах, табуляграммах и др.). Записи А. у. в этих регистрах заменяют записи синтетического учёта либо служат основанием для них. Достоверность показателей А. у. периодически проверяют путём инвентаризации.
Лит. см. при ст. Бухгалтерский учёт. С. А. Щенков.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ (матем.), см. в ст. Аналитические функции.
АНАЛОГИЧНЫЕ ОРГАНЫ (от греч. analogos - соответственный), органы и части животных или растений, сходные в известной мере по внешнему виду и выполняющие одинаковую функцию, но различные по строению и происхождению. Напр.: крылья птиц - видоизменённые передние конечности, крылья насекомых - складки хитинового покрова. Органы дыхания рыб и ракообразных (жабры), сухопутных позвоночных (лёгкие) и насекомых (трахеи) имеют также различное происхождение. Жабры рыб - образования, связанные с внутренним скелетом, жабры ракообразных происходят из наружных покровов, лёгкие позвоночных - выросты пищева-рит. трубки, трахеи насекомых - система трубочек, развившихся из наружных покровов. А. о. имеются также у растений: напр., колючки барбариса - видоизменённые листья, колючки боярышника развиваются из побегов (см. Аналогия в биологии). Сходство А. о.- результат эволюционного приспособления разных организмов к одинаковым условиям среды. Т. к. строение, развитие и происхождение А. о. различны, их сопоставление не позволяет судить о родстве между организмами. Ср. Гомологичные органы.
Л. Я.. Бляхер.
АНАЛОГИЯ (греч. analogia - соответствие, сходство), сходство предметов (явлений, процессов и т. д.) в к.-л. свойствах. При умозаключении по А. знание, полученное из рассмотрения к.-л. объекта ("модели"), переносится на другой, менее изученный (менее доступный для исследования, менее наглядный и т. п.) в к.-л. смысле, объект. По отношению к конкретным объектам заключения, получаемые по А., носят, вообще говоря, лишь вероятный характер; они являются одним из источников научных гипотез, индуктивных рассуждений (см. Индукция) и играют важную роль в научных открытиях. Если же выводы по А. относятся к абстрактным объектам, то они при определённых условиях (в частности, при установлении между ними отношений изоморфизма или гомоморфизма) могут давать и достоверные заключения. Подробнее см. Моделирование, Подобия теория.
Лит.: Аристотель, Аналитики первая и вторая, М., 1952; Асмус В. Ф., Логика, [М.], 1947; Милль Д ж. Ст., Система логики силлогической и индуктивной, пер. с англ., 2 изд., М., 1914; Пойа Д., Математика и правдоподобные рассуждения, пер. с англ., М., 1957; Уемов А. И.. Основные формы и правила выводов по аналогии, в кн.: Проблемы логики научного познания, М., 1964; Веников В. А., Теория подобия и моделирование применительно к задачам электроэнергетики, М., 1966; Хорафас Д.Н., Системы и моделирование, пер. с англ., М., 1967.
Б. В. Бирюков, А. И. Уемов.
АНАЛОГИЯ в лингвистике, сближение первоначально отличных друг от друга форм вследствие стремления к распространению продуктивной модели (словоизменения, словообразования, фо-нетич. изменения и т. п.): напр., у существительных муж. рода типа "двор" форма творит, падежа мн. числа "дворами" возникла вместо старой формы "дворы" по А. с формой слов жен. рода типа "руками".
АНАЛОГИЯ в биологии, внешнее сходство организмов разных систематич. групп, а также органов или их частей, происходящих из различных исходных зачатков и имеющих неодинаковое строение; обусловлена общностью образа жизни или функции, т. е. приспособлением к сходным условиям существования. Примеры А.: обтекаемая форма тела у водных млекопитающих - китов, дельфинов и у рыб (рис.); усики винограда (образующиеся из побегов) и усики гороха (видоизменённые листья) и др. (см. Аналогичные органы). Понятие А. было введено Аристотелем и обозначало функцион. и морфологич. сходство органов различных организмов. Р. Оуэн (1915) уточнил это понятие как функциональное подобие, противоположное гомологии. Ч. Дарвин (1859) считал, что А. возникает в ходе эволюции в сходных условиях жизни в результате приспособления к окружающей среде организмов далёких систематических групп (см. Конвергенция в биологии).
Аналогичная форма тела у акулы (А), ископаемого пресмыкающегося -ихтиозавра (Б) и млекопитающего - дельфина (В).
Лит.: Дарвин Ч., Происхождение видов. Соч., т. 3, М., 1939, с. 608; Шимкевич В. М., Биологическое основание зоологии, 5 изд., т. 1 - 2, М.- П., 1923 - 25; Бляхер Л. Я., Аналогия и гомология, и сб.: Идея развития в |
