| тся равная ей формула в языке над напр.
Особую роль в последнем языке играет класс формул, к-рые могут быть записаны в виде 0 или 1, где и каждое - либо переменное высказывание, либо его отрицание, либо конъюнкция таковых, при этом каждое не содержит одинаковых сомножителей и не содержит сомножителей вида одновременно и все - попарно различны. Здесь скобки опускаются, т. к. предполагается, что операция конъюнкции связывает "сильнее", чем дизъюнкция, т. е. при вычислении по заданным значениям переменных следует сначала вычислить значения Эти выражения наз. дизъюнктивными нормальными формами (днф). Каждую формулу реализующую функцию, отличную от константы, в языке над при помощи равенств (1) - (7) можно привести к равной ей днф, содержащей все переменные формулы и любое число других переменных, причем каждое в этой днф содержит одни и те же переменные. Такая днф наз. совершенной днф формулы . Возможность приведения к совершенной днф лежит в основе алгоритма, устанавливающего Равенство или неравенство двух наперёд заданных формул.
Важную роль в А. л. и её приложениях играет т. н. сокращённая днф. Днф наз. сокращённой, если выполнены
следующие условия:1 1) в ней нет таких пар слагаемых и что всякий сомножитель из имеется ив; 2) для всяких двух таких слагаемых и , из к-рых один содержит сомножителем нек-рое переменное, а другой - отрицание этого переменного (при условии, что в данной паре слагаемых нет другого переменного, для к-рого это же имеет место), имеется (в этой же днф) слагаемое, равное конъюнкции остальных сомножителей этих двух слагаемых. Всякая днф при помощи равенства (1) - (7) может быть приведена к равной ей сокращённой днф. Напр., сокращённой днф для формулы является
Кроме днф, употребляются также конъюнктивные нормальные фор-мы(кнф). Так называют выражения, к-рые можно получить из днф путём замены в них знаков на &, а & на . Напр., из_ днф
получается кнф
Операция (или функция) f наз. двойственной для операции , если таблица, задающая f, получается из таблицы, задающей , путём замены в ней всюду 0 на 1 и 1 на 0 (включая замену значений функций). Напр., конъюнкция и дизъюнк-ция двойственны между собой, отрицание двойственно самому себе, константы 1 и О двойственны друг другу и т. д. Преобразованием формул, при к-ром знаки всех операций в выражении заменяются на знаки двойственных им операций, константа О заменяется на 1, а 1 - на 0, наз. преобразованием двойственности. Если верно равенство и двойственно , а двойственно 33, то верно , называемое двойственным предыдущему. Это т. н. принцип двойственности. Примерами двойственных равенств являются пары законов (1), (2), (3); равенство (5) двойственно равенству (6), каждая кнф двойственна нек-рой днф. Совершенная кнф и сокращённая кнф определяются как такие кнф, что двойственные им выражения являются соответственно совершенной днф и сокращённой днф.
Следствия. Гипотезы. Минимизация. Совершенные и сокращённые днф и кнф используются для решения задачи обзора всех гипотез и всех следствий заданной формулы. Под гипотезой формулы понимается такая формула , что , а под следствием формулы - такая формула , что Гипотеза формулыназ. простой, если она есть конъюнкция переменных или их отрицаний и после отбрасывания любого из её сомножителей перестаёт быть гипотезой формулы . Аналогично, следствие формулы наз. простым, если оно есть дизъюнкция переменных или их отрицаний и после отбрасывания любого из её слагаемых перестаёт быть следствием формулы . Решение задачи обзора гипотез и следствий основано на указании алгоритма, строящего все простые гипотезы и следствия для заданной формулы и в получении из них при помощи законов (2) - (7) всех остальных гипотез и следствий.
Сокращённая днф имеет важные приложения. Следует отметить прежде всего задачу минимизации функций А. л., являющуюся частью т. н. задачи синтеза управляющих систем. Минимизация функций А, л, состоит в построении такой днф для заданной функции А. л., к-рая реализует эту функцию и имеет наименьшее суммарное число сомножителей в своих слагаемых, т. е. имеет минимальную "сложность". Такие днф наз. минимальными. Каждая минимальная днф для заданной отличной от константы функции А. л. получается из сокращённой днф любой формулы, реализующей эту функцию, выбрасыванием нек-рых слагаемых из этой сокращённой днф.
Языки. Интерпретации. В языке над &, где знак интерпретируется как сложение по модулю два, устанавливаются следующие соотношения:
Эти равенства позволяют переводить формулы в языке над в равные им формулы в языке над . и обратно. Тождественные преобразования в последнем языке осуществляются при помощи равенств, установленных для конъюнкции
таетcя, что конъюнкция связывает "сильнее", чем знак +. Этих равенств достаточно для того, чтобы из них при помощи тождественных преобразований, так же как и при рассмотрении языка над
можно было вывести люОое верное равенство в языке над Выражение в этом языке наз. приведённым полиномом (п.п.), если оно либо имеет вид
где каждое есть или или переменное, или конъюнкция различных переменных без отрицаний, при и либо равно. Напр., выражение является п. п. Всякую формулу А. л. можно привести к п. п.
Кроме рассмотренных языков, существуют и др. языки, равносильные им (два языка наз. равносильными, если при помощи нек-рых правил преобразования каждая формула одного из этих языков переводится в нек-рую равную ей формулу в другом языке и обратно). В основу такого языка достаточно положить любую систему операций (и констант), обладающую тем свойством, что через операции (и константы) этой системы можно представить всякую функцию А, л. Такие системы наз. функционально полными-. Примерами полных систем являются
и т. п.Существует алгоритм, к-рый по произвольной конечной системе функций А. л. устанавливает её полноту или неполноту. Рассматриваются и такие языки, в основе к-рых лежат системы операций, не являющихся функционально полными, и таких языков бесконечно много. Среди них имеется бесконечно много попарно неравносильных языков (в смысле отсутствия переводимости при помощи тождественных преобразований с одного языка на другой). Однако для всякого языка, построенного на основе тех или иных операций А. л., существует такая конечная система равенств этого языка, что всякое равенство этого языка выводимо при помощи тождественных преобразований из равенств этой системы. Такая система равенств наз. дедуктивно полной системой равенств (п. с. р.) языка.
Рассматривая тот или иной из упомянутых выше языков вместе с нек-рой п. с. р. этого языка, иногда отвлекаются от табличного задания операций, лежащих в основе этого языка, и от того, что значениями его переменных являются высказывания. Вместо этого допускаются различные интерпретации языка, состоящие из той или иной совокупности объектов (служащих значениями переменных) л системы операций над объектами этого множества, удовлетворяющих равенствам из п. с. р. этого языка. Так, язык над в результате такого шага превращается в язык т. н. булевой алгебры, язык над превращается в язык т. н. булевого кольца (с единицей), язык над в язык дистрибутивной структуры и т. п.
А. л. развивается гл. обр. под влиянием задач, встающих в области её приложений. Из них самую важную роль играют приложения А. л. в теории электрич. схем. Для описания последних в нек-рых случаях приходится отказываться от пользования лишь обычной двузначной А. л. и рассматривать те или иные её многозначные обобщения (см. Многозначная логика).
Лит.: Гильберт Д. и Аккер-м а н Б., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с ан гл., М., 1948; К л и-н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959. В. Б. Кудрявцев.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, изучающий алгебраические многообразия. Так называются множества точек в я-мерном пространстве, координаты которых (x1, х2,...,хп ) являются решениями системы уравнений:
где Fit..., Fm - многочлены от неизвестных x1, x2, .., xп Каждое алгебр, многообразие имеет определённую размерность, к-рая является числом независимых параметров, определяющих точку на многообразии. Алгебр, многообразия, имеющие размерность 1, наз. алгебраическими кривыми, имеющие размерность 2 - алгебраическими поверхностями. Примерами алгебр, кривых могут служить конические сечения.
Два алгебр, многообразия наз. бирационально эквивалентным и, если координаты каждой точки одного многообразия выражаются при помощи рациональных функций через координаты точки другого многообразия, и наоборот. В А. г. алгебр, многообразия обычно изучаются с точностью до бирациональной эквивалентности, поэтому одной из осн. задач А. г. является построение бирациональных инвариантов для алгебр, многообразий. Наиболее важные из известных бирациональных инвариантов строятся с помощью средств матем. анализа (т. н. трансцендентных методов), в особенности при помощи кратных интегралов по алгебр, многообразию. Кроме трансцендентных методов, в А. г. часто применяются геометрич. методы проективной геометрии, а также топология, методы (см. Топология). Последнее вызвано тем, что некоторые важные бирациональные инварианты, напр, род кривой (см. ниже), алгебр, многообразий носят топологич. характер. Особенно большую роль играет связь А. г. с топологией в свете теоремы япон. математика Хиронака, согласно к-рой всякое алгебр, многообразие бирационально эквивалентно многообразию, не имеющему особых точек.
Наиболее разработанная часть А. г. - теория алгебр- кривых. Основным бира-циональным инвариантом алгебр, кривой является её род. Если алгебр, кривая плоская, т. е. задаётся в декартовых координатах ур-нием F(x, у) = 0, то род кривой g = (m -l)(m -2)/2 - d, где m - порядок кривой, ad - число её двойных точек. Род кривой всегда есть целое неотрицательное число. Кривые рода нуль бирацио-нально эквивалентны прямым, т. е, параметрически могут быть заданы при помощи рациональных выражений. Кривые рода 1 могут быть параметризованы эллиптическими функциями и поэтому наз. эллиптич. кривыми. Кривые рода больше 1 могут быть параметризованы с помощью автоморфных функций. Каждая кривая рода g, большего 1, с точностью до бирациональной эквивалентности однозначно определяется 3g - 3 комплексными параметрами, к-рые сами пробегают нек-рое алгебр-многообразие.
В многомерном случае наиболее изученный класс алгебр, многообразий образуют абелевы многообразия. Это - замкнутые подмногообразия проективного пространства, являющиеся одновременно группами, причём так, что умножение задаётся рациональными выражениями. Умножение на таком многообразии автоматически оказывается коммутативным. Алгебр, кривая является абе левым многообразием тогда и только тогда, когда она имеет род 1, т. е. является эллиптич. кривой.
Теория алгебр, кривых и теория абелевых многообразий тесно связаны между собой. Всякая алгебр, кривая рода, большего 0, канонически погружается в нек-рое абелево многообразие, наз. якобиевым многообразием для данной кривой. Якобиево многообразие является важным инвариантом кривой и почти полностью определяет самоё кривую.
Исторически А. г. возникла из изучения кривых и поверхностей низких порядков. Классификация кривых третьего порядка была дана И. Ньютоном (1704). В 19 в. А. г. постепенно переходит от изучения спец. классов кривых и поверхностей к постановке общих проблем, относящихся ко всем многообразиям. Общая А. г. была построена в кон. 19 и нач. 20 вв. в трудах нем. математика М. Нётера, итал. математиков Ф. Энрикеса, Ф. Севе-ри и др. Своего расцвета А. г. достигает в 20 в. (работы франц. математика А. Вей-ля, амер. математика С. Лефшеца и др.). Крупные достижения в А. г. имеют сов. математики Н. Г. Чеботарёв, И. Г. Петровский, И. Р. Шафаревич.
А. г. является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов математики. .Методы А. г. оказывают огромное влияние на такие смежные с А. г. разделы математики, как теория функций многих комплексных переменных, теория чисел, а также на более далёкие от А. г. разделы математики - такие, как уравнения в частных производных, алгебр, топология, теория групп и др.
Лит.: Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., [2 изд.], ч. 1 - 2, М.- Л., 1947; Чеботарёв Н. Г., Теория алгебраических функций, М.- Л., 1948; ХоджВ., ПидоД., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ.,т. 1 - 3, М., 1954 - 55; Алгебраические поверхности, М., 1965; W e i I A., Foundations of algebraic geometry, N. Y., 1946.
Б. Б. Венков.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ, кривая, задаваемая в декартовых координатах алгебр, уравнением. См. Алгебраическая геометрия.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, поверхность, задаваемая в декартовых координатах алгебр, уравнением. См. Алгебраическая геометрия.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению. А. ф. принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены и частные много
рациональными, а прочие А. ф.- иррациональными. Простейшими примерами последних могут служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов [напр.,
. Однако существуют А. ф., к-рые невозможно выразить через радикалы [напр., функция у = f (x), удовлетворяющая ур-нию: у5 + 5ух4 + + 5x5 = 0]. Примерами неалгебр., т. н. трансцендентных функций, встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная хa (если а - иррациональное число), показательная аx, логарифмическая и т. д. Общая теория А. ф. представляет обширную математич. дисциплину, имеющую важные связи с теорией аналитических функций (А. ф. составляют спец. класс аналитич. функций), алгеброй и алгебраической геометрией. Самая общая А. ф. многих переменных u =f(x, у, z,...) определяется как функция, удовлетворяющая ур-нию вида:
где - какие-либо многочлены относительно х, у, z,... . Всё выражение, стоящее в левой части, представляет нек-рый многочлен относительно x, у, z,... и u. Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен Р0 можно считать не равным тождественно нулю. Если п - 1, то и представляет рациональную функцию (u = -P1/Р0), частным случаем к-рой - целой рациональной функцией - является многочлен (если P0=const <> 0). При n>1 получается иррациональная функция; если п = 2, то она выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если п = 3 или п = 4, то для и получается выражение, содержащее квадратные и кубич. корни.
При n>= 5 иррациональная функция и уже не может быть выражена (в общем случае) через конечное число каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является n-значной аналитич. функцией переменных х, у, z,...
Лит.: Чеботарёв Н. Г., Теория алгебраических функций, М.- Л., 1948.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, выражение, составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. наз. рациональным относительно нек-рых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня, напр. рационально относительно а, b и с. А. в. наз. целым относительно нек-рых букв, если оно не содержит деления на выражения, содержащие эти буквы, напр. За/с + Ьс2 - Зас/4 является целым относительно а и b. Если нек-рые из букв (или все) считать переменными, то А. в. есть алгебраическая функция.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ, см. в ст. Определитель.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений. А. у. с одним неизвестным наз. д р о 6 н ы м, если неизвестное входит в знаменатель, и иррациональным, если неизвестное входит под знаком радикала. Всякое А. у. может быть преобразовано без потери корней к виду a0x" + atx"~l + + ... + а„ = 0. О решении таких ур-ний см. Алгебра и Численное решение уравнений. Д. К. Фаддеев.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО, число а, удовлетворяющее алгебр. уравнению
где n<=1,
- целые (рациональные) числа. Число а наз. целым А. ч., если a1 = 1. Если многочлен
не является произведением двух др. многочленов положит, степени с рациональными коэфф., то число n наз. степенью А. ч. а. Простейшие А.ч.- корни двучленного ур-ния xn= a, где а-рациональное число. Напр., А. ч. будут рациональные числа, числа целыми А. ч. будут целые числа, числа
С понятием А. ч. тесно связаны два больших направления в теории чисел. 1) Арифметика А. ч. (алгебр.теория чисед), созданная Э. Куммером в сер. 19 в., изучает свойства А. ч. Целые А. ч. обладают рядом свойств, аналогичных свойствам целых рациональных чисел, однако теорема об единственности разложения числа на простые множители не имеет места в теории целых А. ч. Для сохранения единственности разложения Куммер ввёл в рассмотрение т. н. "идеальные" числа (см. Идеал). 2) Теория приближения А. ч. изучает степень приближения А. ч. рациональными числами или алгебр, же числами. Первым результатом в этом направлении была теорема Ж. Лиувилля, показывающая, что А. ч. "плохо" приближаются рациональными числами, точнее: если а - А. ч. степени п, то при любых целых рациональных р и q имеет место неравенство , где С= =-постоянная, не зависящая от р и q; отсюда следует, что легко построить произвольное количество неалгебраических - трансцендентных чисел.
Лит.: Гекке Э., Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М.- Л., 1940; Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952; Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, М., 1964. А. А. Карациба.
АЛГЕБРЫ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА, название теоремы о существовании комплексных корней алгебр. уравнения aaxn + aixn-1+ ... + ап = 0 с комплексными коэффициентами. См. Алгебра.
АЛГОЛ, сокращённое назв. ряда языков программирования. Образовано из начальных букв англ, слов algorithmic (алгоритмический) и language (язык). Разработан группой учёных разных стран в 1958-60. Окончат, вид яз |
