| квадратное уравнение может и не иметь решений среди т. н. действит. чисел; напр., уравнение x2 + 2 = 0 не может быть удовлетворено ни при каком положит, или отрицат. х, т. к. слева всегда окажется положит, число, а не нуль. Представление решения в виде не имеет смысла, пока не будет разъяснено, что такое квадратный корень из отрицат. числа. Именно такого рода задачи и натолкнули математиков на т. н. мнимые числа. Ещё раньше отдельные смелые исследователи ими пользовались, но окончательно они были введены в науку только в 19 в. Эти числа оказались важнейшим орудием не только в А., но и почти во всех разделах математики и её приложений. По мере того как привыкали к мнимым числам, они теряли всякую таинственность и "мнимость", почему теперь их и называют чаще всего не мнимыми, а комплексными числами.
Если допускать и комплексные числа, то оказывается, что любое уравнение n-й степени имеет корни, причём это верно и для уравнений с любыми комплексными коэфф. Эта важная теорема, носящая название основной теоремы А., была впервые высказана в 17 в.франц. математиком А. Жираром, но первое строгое доказательство её было дано в самом кон. 18 в. К. Гауссом; с тех пор были опубликованы десятки различных доказательств. Все эти доказательства должны были, в той или иной форме, прибегнуть к непрерывности; т. о., доказательство осн. теоремы А. само выходило за пределы А., демонстрируя лишний раз неразрывность математич. науки в целом.
Если xi - один из корней алгебр, уравнения
то легко доказать, что многочлен, стоящий в левой части уравнения, делится без остатка на х - x,-. Из основной теоремы А. легко выводится, что всякий многочлен тг-й степени распадается на п таких множителей 1-й степени, т. е. тождественно:
причём многочлен допускает лишь одно единственное разложение на множители такого вида.
Таким образом, уравнение n-й степени имеет и корне и. В частных случаях может оказаться, что нек-рые из множителей равны, т. е. нек-рые корни повторяются несколько раз (кратные корни); следовательно, число различных корней может быть и меньше п. Часто не так важно вычислить корни, как разобраться в том, каков характер этих корней. Как пример приведём найденное ещё Декартом "правило знаков": уравнение имеет не больше положит, корней, чем число перемен знака в ряду его коэффициентов (а если меньше, то на чётное число). Напр., в рассмотренном выше уравнении xs- 4х - 2=0 одна перемена знака (первый коэфф.- положительный, остальные - отрицательные). Значит, не решая уравнения, можно утверждать, что оно имеет один и только один положит, корень. Общий вопрос о числе действительных корней в заданных пределах решается Штурма правилом. Очень важно, что у уравнения с действит. коэффициентами комплексные корни могут являться только парами: наряду с корнем а + bi корнем того же уравнения всегда будет и а - bi Приложения ставят иногда и более сложные задачи этого рода; так, в механике доказывается, что движение устойчиво, если нек-рое алгебр, уравнение имеет только такие корни (хотя бы и комплексные), у к-рых действит. часть отрицательна, и это заставило искать условия, при к-рых корни уравнения обладают этим свойством (см. Рауса - Гурвица проблема).
Многие теоретич. и практич. вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с неск. неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т. е. системы т уравнений 1-й степени с п неизвестными:
Здесь x1,..., хп-неизвестные, а коэфф. записаны так, что значки при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем уравнений 1-й степени определяется не только тем, что они - простейшие. На практике (напр., для отыскания поправок в астро-номич. вычислениях, при оценке погрешности в приближённых вычислениях и т. д.) часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями к-рых можно пренебречь (ввиду их чрезвычайной малости), так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г. Лейбниц (1700) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэфф. аik, и показал, как из этих коэфф. (в случае т = и) строить т. н. определители, при помощи к-рых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие таблицы, или матрицы, стали предметом самостоят, изучения, т. к. обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Теория систем линейных уравнений и теория матриц в наст, время стали частями важной отрасли науки - линейной алгебры.
(По материалам статьи А. Г. Куроша и О. Ю. Шмидта из 2-го изд. БСЭ).
Современное состояние алгебры
Сфера приложений математики расширяется с течением времени, и темп этого расширения возрастает. Если в 18 в. математика стала основой механики и астрономии, то уже в 19 в. она стала необходимой для различных областей физики, а ныне математич. методы проникают даже в такие, казалось бы далекие от математики области знания, как биология, лингвистика, социология и т. д. Каждая новая область приложений влечёт создание новых глав внутри самой математики. Эта тенденция привела к возникновению значит, числа отдельных матем. дисциплин, различающихся по областям исследования (теория функций комплексного переменного, теория вероятностей, теория уравнений матем. физики и т. д.; более новые - теория информации, теория автоматич. управления и т. д.). Несмотря на такую дифференциацию, математика остаётся единой наукой. Это единство сохраняется благодаря развитию и совершенствованию ряда общих, объединяющих идей и точек зрения. Тенденция к объединению лежит в существе математики как науки, пользующейся методом абстракции и, кроме того, часто стимулируется тем, что при исследовании задач, возникающих в различных областях знания, приходится пользоваться одним и тем же математич. аппаратом.
Совр. А., понимаемая как учение об операциях над любыми математич. объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Эту роль А. разделяет с топологией, в к-рой изучаются наиболее общие свойства непрерывных протяжённостей. А. и топология оказались, несмотря на различие объектов исследования, настолько связанными, что между ними трудно провести чёткую границу. Для совр. А. характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над к-рыми производятся эти операции. Попытаемся объяснить на простом примере, как это происходит. Всем известна формула (а + b)2 = а2 + 2аb + b2. Её выводом является цепочка равенств: (а + b)2 = (а + b) (а + b)=(а + b)а + (a + b)b = = (а2 + bа) + (аb + b2)= а2 + (bа + аb) + + b2 = а2 + 2ab + b2. Для обоснования мы дважды пользуемся законом дистрибутивности: с(а + b) = са + cb (роль c играет а + b) и (а + b) c = = aс + bc (роль с играют а и b), закон ассоциативности при сложении позволяет перегруппировать слагаемые, наконец используется закон коммутативности: ba = ab. Что представляют собой объекты, закодированные буквами а и b, остаётся безразличным; важно, чтобы они принадлежали системе объектов, в к-рой определены две операции - сложение и умножение, удовлетворяющие перечисленным требованиям, касающимся свойств операций, а не объектов. Поэтому формула останется верной, если а и 6 обозначают векторы на плоскости или в пространстве, сложение принимается сперва как векторное сложение, потом как сложение чисел, умножение - как скалярное умножение векторов. Вместо а и b можно подставить коммутирующие матрицы (т. е. такие, что аb = bа, что для матриц может не выполняться), операторы дифференцирования по двум независимым переменным и т. д.
Свойства операций над матем. объектами в разных ситуациях иногда оказываются совершенно различными, иногда одинаковыми, несмотря на различие объектов. Отвлекаясь от природы объектов, но фиксируя определённые свойства операций над ними, мы приходим к понятию множества, наделённого алгебраической структурой, или алгебраической системы. Потребности развития науки вызвали к жизни целый ряд содержательных алгебр, систем: группы, линейные пространства, поля, кольца и т. д. Предметом совр. А. в основном является исследование сложившихся алгебр, систем, а также исследование свойств алгебр, систем вообще, на основе ещё более общих понятий (Q-алгебры, модели). Кроме этого направления, носящего название общей А., изучаются применения алгебр, методов к др. разделам математики и за её пределами (топология, функциональный анализ, теория чисел, алгебр, геометрия, вычислит, математика, теоретич. физика, кристаллография и т. д.).
Наиболее важными алгебр, системами с одной операцией являются группы. Операция в группе ассоциативна [т. е. верно (а * b) * с = а * (b * с) при любых а, b, с из группы; звёздочкой . обозначена операция, к-рая в разных ситуациях может иметь разные названия] и однозначно обратима, т. е. для любых а и b из группы найдутся единственные х, у, такие, что а * х = b, у * а = b. Примерами групп могут служить: совокупность всех целых чисел относительно сложения, совокупность всех рациональных (целых и дробных) положит, чисел относительно умножения. В этих примерах операция (сложение в первом, умножение во втором) перестановочна. Такие группы наз. абелевыми. Совокупности движений, совмещающих данную фигуру или тело с собой, образуют группу, если в качестве операции взять последовательное осуществление двух движений. Такие группы (группы симметрии фигуры) могут быть неабе-левыми. Движения, совмещающие с собой атомную решётку кристалла, образуют т. н. фёдоровские группы, играющие основную роль в кристаллографии и через неё в физике твёрдого тела. Группы могут быть конечными (группы симметрии куба) и бесконечными (группы целых чисел по сложению), дискретными (тот же пример) и непрерывными (группа вращений сферы). Теория групп стала разветвлённой, богатой содержанием математич. теорией, имеющей обширную область приложений.
Не менее богатой приложениями является линейная А., изучающая линейные пространства. Под этим названием понимаются алгебр, системы с двумя операциями - сложением и умножением на числа (действительные или комплексные). Относительно сложения объекты (называемые векторами) образуют абелеву группу, операция умножения удовлетворяет естественным требованиям:
здесь а и b обозначают числа, х и у - векторы. Множества векторов (в обычном понимании) на плоскости и в пространстве образуют линейные пространства в смысле данного определения. Однако задачи, стоящие перед математикой, заставляют рассматривать многомерные и даже бесконечномерные линейные пространства. Последние (их элементами чаще всего являются функции) составляют предмет изучения функционального анализа. Идеи и методы линейной А. применяются в большинстве разделов математики, начиная с аналитич. геометрии и теории систем линейных уравнений. Теория матриц и определителей составляет вычислит, аппарат линейной А.
О других алгебр, системах, указанных выше, см. соответствующие статьи и литературу при них. Д.К.Фаддеев.
Лит.: История алгебры. Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в древнем мире, 2 изд., М., 1967; Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966.
Классики науки. Декарт Р., Геометрия, пер. с латин., М.- Л., 1938; Ньютон И., Всеобщая арифметика, или книга об арифметических синтезе и анализе, пер. с лат., М., 1948; Эйлер Л., Универсальная арифметика, пер. с нем., т. 1 - 2, СПБ, 1768 - 69; Лобачевский Н. И., Полное собрание сочинений, т. 4 - Сочинения по алгебре, М.- Л.,1948; Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М.-Л., 1936.
Университетские курсы. Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 3 изд., М. ,1966; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, М.- Л., 1948. Монографии по общим вопросам алгебры. Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1 - 2, М.- Л., 1947; Бурбаки Н., Алгебра, пер. с франц., [гл. 1-9], М., 1962 - 66; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, М., 1962.
Монографии по специальным разделам алгебры. Шмидт О., Абстрактная теория групп, 2 изд., М.- Л., 1933; Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 2 изд., М., 1954; Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, ч. 1 - 2, М. -Л., 1934 - 37; Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ, раздел матем. логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логич. значений (истинности или ложности), и логич. операции над ними. А. л. возникла в сер. 19 в. в трудах Дж. Буля и развивалась затем в работах Ч. Пирса, П. С. Порецкого, Б. Рассела, Д. Гильберта и др. Соз-д-шие А. л. представляло собой попытку решать традиционные логич. задачи алгебр, методами. С появлением теории множеств (70-е гг. 19 в.), поглотившей ччсть первоначального предмета А. л., и дальнейшим развитием матем. логики (последняя четверть 19 в.- 1-я пол. 20 в.) предмет А. л. значительно изменился. Основным предметом А. л. стали высказывания. Под высказыванием понимается каждое предложение, относительно к-рого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Примеры высказываний: "кит - животное", "все углы - прямые" и т. п. Первое из этих высказываний является, очевидно, истинным, а второе - ложным. Употребляемые в обычной речи логич. связки "и", "или", "если..., то...", "эквивалентно", частица "не" и т. д. позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более "сложные" высказывания. Так, из высказываний "x > 2", *x<=3" при помощи связки "и" можно получить высказывание "x>2 и x<=З", при помощи связки "или" - высказывание "x>2 или x<=3", при помощи связки "если..., то..." - высказывание "если x>2, то x<=3" и т. д. Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.
Связки. Формулы. В А. л. для обозначения истинности вводится символ И и для обозначения ложности - символ Л. Часто вместо этих символов употребляются числа 1 и 0. Связки "и", "или", "если..., то...", "эквивалентно" обозначаются соответственно знаками & (конъюнкция), V (дизъюнкция), -> (импликация), ~ (эквивалентность); для отрицания вводится знак - (чёрточка сверху). Наряду с индивидуальными высказываниями, примеры к-рых приводились выше, в А. л. используются также т. н. переменные высказывания, т. е. такие переменные, значениями к-рых могут быть любые наперёд заданные индивидуальные высказывания. Далее индуктивно вводится понятие формулы, являющееся формализацией понятия "сложного" высказывания; через А, В, С,... обозначаются индивидуальные, а через X, У, Z ,...- переменные высказывания. Каждая из этих букв наз. формулой. Если знаком * обозначить любую из перечисленных выше связок, а исуть формулы, то суть формулы. Пример формулы: ( (Х&У) -> Z). Связки и частица "ие" рассматриваются в А. л. как операции над величинами, принимающими значения 0 и 1, и результатом применения этих операций также являются числа О или 1. Конъюнкция Х&У равна 1 тогда и только тогда (т. и т. т.), когда и X и Y равны 1; дизъюнкция XV У равна О т. и т. т., когда и X и У равны 0; импликация X -> У равна 0 т. и т. т., когда X равно 1, а У равно 0; эквивалентность X ~ У равна 1 т. и т. т., когда значения X и У совпадают; отрицание X равно 1 т. и т. т., когда X равно 0. Введённые операции позволяют каждой формуле при заданных значениях входящих в неё высказываний приписать одно из двух значений 0 или 1. Тем самым каждая формула может одновременно рассматриваться как нек-рый способ задания или реализации т. н. функций А. л., т. е. таких функций, к-рые определены на наборах нулей и единиц и к-рые в качестве значений принимают также. О или 1. Для задания функций А. л. иногда используются таблицы, содержащие все наборы значений переменных и значения функций на этих наборах. Так, напр_._, сводная таблица, задающая функции X, Х&У, XVY, Х-"У и Х~У имеет вид:
00
1
0
0
1
1
01
1
0
1
1
0
10
0
0
1
0
0
11
0
1
1
1
1
Аналогично устроены таблицы для произвольных функций А. л. Это - т. н. табличный способ задания функций А. л. Сами же таблицы иногда называют истинностными таблицами.
Для преобразований формул в равные формулы важную роль в А. л. играют следующие равенства:
(закон коммутативности);
(закон ассоциативности); (3)
(закон поглощения); (4) = (закон дистрибутивности); (закон противоречия); (6) (закон исключённого третьего);
(7)
Эти равенства, устанавливаемые, напр., с помощью истинностных таблиц, позволяют уже без помощи таблиц получать др. равенства. Методом получения последних являются т. н. тождественные преобразования, к-рые меняют, вообще говоря, выражение, но не функцию, реализуемую этим выражением. Напр., при помощи законов поглощения получается закон идемпотентности Упомянутые равенства в ряде случаев позволяют существенно упростить запись формул освобождением от "лишних скобок". Так, соотношения (1) и (2) дают возможность вместо формул
и использовать более компактную запись и Первое из этих выражений наз. конъюнкцией сомножителей
а второе - дизъюнкцией слагаемых . Равенства (5), (6), (7) показывают также, что константы 0 и 1, импликацию и эквивалентность, рассматривая их как функции, можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Более того, всякая функция А. л. может быть реализована формулой, записываемой с помощью символов
Нормальные формы. Множество всех формул, в построении к-рых участвуют переменные высказывания, нек-рые из символов и констант 0 л 1, наз. языком над данными символами и константами. Равенства (1) - (7) показывают, что для всякой формулы в языке над найдё |
